一艘正在行驶的快艇,在发动机关闭后,有一个与它速度方向相反的加速度,其大小与它的速度平方成正比,即dV/dt=-kV^2,k为恒量.试证明：快艇在关闭发动机后行驶x距离时的速度V=ve^(-kx),其中k是

Question

一艘正在行驶的快艇,在发动机关闭后,有一个与它速 度方向相反的加速度,其大小与它的速度平方成正比,即dV/dt=-kV^2,k为恒量.试证明：快艇在关闭发动机后行驶x距离时的速度V=ve^(-kx),其中k是发动机关闭时的速度.求详解.

Answer 1

依题有：
dv/dt=dv/dx×dx/dt=vdv/dx
从而：-kv²=dv/dt=vdv/dx
即：1/vdv=-kdx
两边积分：∫(v→V)(1/v)dv=-k∫(0→x)dx
得：-kx=Ln(V/v)
或：V=ve^(-kx)