一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示．ABCD是等腰梯形，AB=20米，∠CBF=α（F在AB的延长线上，α为锐角）．圆E与AD，BC都相切，且其半径长为100-80sinα米．EO

Question

一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示．ABCD是等腰梯形，AB=20米，∠CBF=α（F在AB的延长线上，α为锐角）．圆E与AD，BC都相切，且其半径长为100-80sinα米．EO是垂直于AB的一个立柱，则当sinα的值设计为多少时，立柱EO最矮？

Answer 1

（本题满分为14分）
如图所示，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．

因为B（10，0），k_BC=tanα，所以直线BC的方程为：y=tanα（x-10），即xtanα-y-10tanα=0．…（4分）
设圆心E（0，t），（t>0），由圆E与直线BC相切，得100-80sinα=(|-t-10tanα|)/(√(1+tan2α))=(t+10tanα)/((1)/(cosα))，
所以EO=t=(100-90sinα)/(cosα)，…（8分）
令f（α）=(100-90sinα)/(cosα)，α∈（0，(π)/(2)），则f′（α）=(100(sinα-(9)/(10)))/(cos2α)，…（10分）
设sinα₀=(9)/(10)，α₀∈（0，(π)/(2)）．列表如下：

α	（0，α0）	α0	（α0，(π)/(2)）
f′（α）	-	0	+
f（α）	减	极小值	增

所以当α=α₀，即sinα=(9)/(10)时，f（α）取最小值．…（13分）
答：当sinα=(9)/(10)时，立柱EO最矮．…（14分）