a、b、c为实数，ac＜0，且2a+3b+5c＝0，证明：一元二次方程ax2+bx+c=0有大于34而小于1的根．

Question

a、b、c为实数，ac＜0，且√(2)a+√(3)b+√(5)c＝0，证明：一元二次方程ax²+bx+c=0有大于(3)/(4)而小于1的根．

Answer 1

解法一：设f（x）=ax²+bx+c，
则f（(3)/(4)）•f（1）=（(9)/(16)a+(3)/(4)b+c）（a+b+c）=(1)/(16)（9a+12b+16c）（a+b+c），
∵√(2)a+√(3)b+√(5)c=0，
∴b=(−√(6)a−√(15)c)/(3)，
∴（9a+12b+16c）（a+b+c）=（9a-4√(6)a-4√(15)c+16c）（a-(√(6))/(3)a-(√(15))/(3)c+c）
=[（√(81)-√(96)）a+（√(256)-√(240)）c][(3−√(6))/(3)a+(3−√(15))/(3)c]=c²[（√(81)-√(96)）(a)/(c)+（√(256)-√(240)）][(3−√(6))/(3)(a)/(c)+(3−√(15))/(3)]＜0，
∴b＝(−√(6)a−√(15)c)/(3)，
∴f（(3)/(4)）•f（1）＜0，
∴一元二次方程ax²+bx+c=0有大于(3)/(4)而小于1的根．

解法二：证明：由条件得：(√(3))/(√(5))b+c=-(√(2))/(√(5))a，
记y=ax²+bx+c，
当x=(√(3))/(√(5))时，y₁=(3)/(5)a+(√(3))/(√(5))b+c=(3)/(5)a-(√(2))/(√(5))a=(3−√(10))/(5)a     ①，
当x=1时，y₂=a+b+c=a+b+c-(1)/(√(3))（√(2)a+√(3)b+√(5)c）=(a)/(√(3))|（√(3)-√(2)）-(c)/(a)（√(5)-√(3)）|②，
由于3-√(10)＜0，√(3)-√(2)＞0，√(5)-√(3)＞0，-(c)/(a)＞0，
则y₁•y₂=(3−√(10))/(5√(3))|（√(3)-√(2)）a²-(c)/(a)（√(5)-√(3)）a²|＜0，
因此，方程必有一根介于(√(3))/(√(5))与1之间，而(√(3))/(√(5))＞(3)/(4)，
故方程有大于(3)/(4)而小于1的根．