已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R），圆C：（x-1）2+（y-2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅱ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．

Question

已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R），圆C：（x-1）²+（y-2）²=25．
（Ⅰ）证明：直线l与圆C相交；
（Ⅱ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．

Answer 1

（Ⅰ）直线l方程变形为（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，
由

2x+y−7＝0

x+y−4＝0

，得

x＝3

y＝1

，所以直线l恒过定点P（3，1），…（2分）
又|PC|＝√(5)＜5，故P点在圆C内部，所以直线l与圆C相交；…（4分）
（Ⅱ）当l⊥PC时，所截得的弦长最短，此时有k_l•k_PC=-1，…（6分）
而kl＝−(2m+1)/(m+1)，kPC＝−(1)/(2)，于是(2m+1)/(2(m+1))＝−1，解得m＝−(3)/(4)．…（8分）