设椭圆的中心是坐标原点,长轴在X轴上,其离心率e=二分之根号三,已知点P（0,3/2）到这个椭圆上的点的最远距离为根号七,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到P点距离等于根号七的点的坐标.

Question

设椭圆的中心是坐标原点,长轴在X轴上,其离心率e=二分之根号三,已知点P（0,3/2）到这个椭圆上的点的最远距离为根号七,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到P点距离等于根号七的点的坐标.

Answer 1

设所求椭圆的方程是:
x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)
∵e^2=c^2/a^2
=(a^2-b^2)/a^2
=1-b^2/a^2=(√3/2)^2=3/4
∴b/a=1/2
即:2b=a
设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则:
d^2=x^2+(y-3/2)^2
=a^2·(1-y^2/b^2)+y^2-3y+9/4
=4b^2-3y^2-3y+9/4+3
=-3(y+1/2)^2+4b^2+3(其中－b≤y≤b)
如果b＜1/2,则当y=-b时,d^2有最大值,由题意:(√7)^2=(b+3/2)^2
∴b=√7-3/2＞1/2
这与b＜1/2矛盾
∴b≥1/2成立
∴当y=-1/2时,d^2有最大值,由题意:(√7)^2=4b^2+3
解得:
{b=1
{a=2
∴椭圆方程:x^2/4+y^2=1
将y=-1/2代入
解得:x=±√3
∴椭圆上的点(-√3,-1/2)、(√3,-1/2)到点P的距离都是√7