如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC分别交AD、AB于点E、F，将△AEF沿EF折叠，点A落在点A′处，当△A′BC是等腰三角形时，AP的长为．

Question

如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC分别交AD、AB于点E、F，将△AEF沿EF折叠，点A落在点A′处，当△A′BC是等腰三角形时，AP的长为___．

Answer 1

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=5，∠DAC=∠BAC，
∵EF⊥AA′，
∴∠EPA=∠FPA=90°，
∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，
∴∠AEP=∠AFP，
∴AE=AF，
∵△A′EF是由△AEF翻折，
∴AE=EA′，AF=FA′，
∴AE=EA′=A′F=FA，
∴四边形AEA′F是菱形，
∴AP=PA′
①当CB=CA′时，∵AA′=AC-CA′=3，∴AP=(1)/(2)AA′=(3)/(2)．
②当A′C=A′B时，∵∠A′CB=∠A′BC=∠BAC，
∴△A′CB∽△BAC，
∴(A′C)/(AB)=(BC)/(AC)，
∴A′C=(25)/(8)，
∴AA=8-(25)/(8)=(39)/(8)，
∴AP=(1)/(2)AA′=(39)/(16)．
故答案为(3)/(2)或(39)/(16)．