已知常数p>0，数列{an}满足an+1=|p-an|+2an+p，n∈N*．（1）若a1=-1，p=1，①求a4的值；②求数列{an}的前n项和Sn；（2）若数列{an}中存在三项ar，as，at（r，s，t∈N*，r<s<t）依次成等差数列，求a

Question

已知常数p>0，数列{a_n}满足a_n+1=|p-a_n|+2a_n+p，n∈N*．
（1）若a₁=-1，p=1，
①求a₄的值；
②求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）若数列{a_n}中存在三项a_r，a_s，a_t（r，s，t∈N*，r<s<t）依次成等差数列，求(a1)/(p)的取值范围．

Answer 1

（1）①∵a_n+1=|p-a_n|+2a_n+p，
∴a₂=|1-a₁|+2a₁+1=2-2+1=1，
a₃=|1-a₂|+2a₂+1=0+2+1=3，
a₄=|1-a₃|+2a₃+1=2+6+1=9，
②∵a₂=1，a_n+1=|1-a_n|+2a_n+1，
∴当n≥2时，a_n≥1，
当n≥2时，a_n+1=-1+a_n+2a_n+1=3a_n，即从第二项起，数列{a_n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n=-1+(1-3n-1)/(1-3)=(1)/(2)×3n-1-(3)/(2)，（n≥2），
显然当n=1时，上式也成立，
∴S_n=(1)/(2)×3n-1-(3)/(2)；
（2）∵a_n+1-a_n=|p-a_n|+a_n+p≥p-a_n+a_n+p=2p>0，
∴a_n+1>a_n，即{a_n}单调递增．
（i）当(a1)/(p)≥1时，有a₁≥p，于是a_n≥a₁≥p，
∴a_n+1=|p-a_n|+2a_n+p=a_n-p+2a_n+p=3a_n，∴an=3n-1•a1．
若数列{a_n}中存在三项a_r，a_s，a_t（r，s，t∈N*，r<s<t）依次成等差数列，则有2a_s=a_r+a_t，
即2×3^s-1=3^r-1+3^t-1．（*）
∵s≤t-1，∴2×3^s-1=(2)/(3)×3s<3^t-1<3^r-1+3^t-1．因此（*）不成立．因此此时数列{a_n}中不存在三项a_r，a_s，a_t（r，s，t∈N*，r<s<t）依次成等差数列．
（ii）当-1<(a1)/(p)<1时，有-p<a₁<p．此时a₂=|P-a₁|+2a₁+p=p-a₁+2a₁+p=a₁+2p>p．
于是当n≥2时，a_n≥a₂>p．从而a_n+1=|p-a_n|+2a_n+p=a_n-p+2a_n+p=3a_n．∴a_n=3^n-2a₂=3^n-2（a₁+2p）（n≥2）．
若数列{a_n}中存在三项a_r，a_s，a_t（r，s，t∈N*，r<s<t）依次成等差数列，则有2a_s=a_r+a_t，
同（i）可知：r=1．于是有2×3^s-2（a₁+2p）=a₁+3^t-2（a₁+2p），∵2≤S≤t-1，∴(a1)/(a1+2p)=2×3^s-2-3^t-2=(2)/(9)×3s-(1)/(3)×3t-1<0．∵2×3^s-2-3^t-2是整数，∴(a1)/(a1+2p)≤-1．于是a₁≤-a₁-2p，即a₁≤-p．与-p<a₁<p矛盾．
故此时数列{a_n}中不存在三项a_r，a_s，a_t（r，s，t∈N*，r<s<t）依次成等差数列．
（iii）当(a1)/(p)≤-1时，有a₁≤-p<p．a₁+p≤0．
于是a₂=|P-a₁|+2a₁+p=p-a₁+2a₁+p=a₁+2p．
a₃=|p-a₂|+2a₂+p=|a₁+p|+2a₁+5p．=-a₁-p+2a₁+5p=a₁+4p．
此时数列{a_n}中存在三项a₁，a₂，a₃依次成等差数列．
综上可得：

作业帮用户 2016-12-04

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(a1)/(p)