已知圆的圆心为M，圆的圆心为N，一动圆与这两圆都外切．(1)求动圆圆心P的轨迹方程；(2)若过点N的直线l与(1)中所求轨迹有两交点A、B，求的取值范围．

Question

已知圆的圆心为M，圆的圆心为N，一动圆与这两圆都外切．
(1)求动圆圆心P的轨迹方程；
(2)若过点N的直线l与(1)中所求轨迹有两交点A、B，求的取值范围．____

Answer 1

【分析】(1)利用两个圆相外切的充要条件列出两个几何条件，令两个式子相减；再利用双曲线的定义判断出动圆圆心P的轨迹是双曲线，写出双曲线的方程．
(2)分直线的斜率存在于不存在，设出直线的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理列出关于k的不等式，求出k的范围，利用向量的数量积公式将用k表示，求出k的范围．

(1)设动圆P的半径为r，
则|PM|=，
相减得|PM|-|PN|=2
由双曲线定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右支，
其双曲线方程为
(2)当直线l的斜率存在时，设为k，则
⇒
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
由，
，
=4+2(x₁+x₂)+x₁x₂+k²(x₁-2)(x₂-2)=
当直线的斜率不存在时，x₁=x₂=2⇒y₁=3，y₂=-3
所以，，
综合得

【点评】求动点的轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、相关点法、消参法、交轨法等；解决直线与圆相交的问题常利用几何法特别时，将直线与圆的方程联立，利用韦达定理解．