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已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;(Ⅱ)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h
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已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;
(Ⅱ)令h(x)=g (x)-a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;
(Ⅱ)令h(x)=g (x)-a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
▼优质解答
答案和解析
(I)f(π)=π2-2.f′(x)=2x-2sinx,∴f′(π)=2π.
∴曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为:y-(π2-2)=2π(x-π).
化为:2πx-y-π2-2=0.
(II)h(x)=g (x)-a f(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx)
h′(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+ex(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)
=2(x-sinx)(ex-a)=2(x-sinx)(ex-elna).
令u(x)=x-sinx,则u′(x)=1-cosx≥0,∴函数u(x)在R上单调递增.
∵u(0)=0,∴x>0时,u(x)>0;x<0时,u(x)<0.
(1)a≤0时,ex-a>0,∴x>0时,h′(x)>0,函数h(x)在(0,+∞)单调递增;
x<0时,h′(x)<0,函数h(x)在(-∞,0)单调递减.
∴x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=-1-2a.
(2)a>0时,令h′(x)=2(x-sinx)(ex-elna)=0.
解得x1=lna,x2=0.
①0x-elna<0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;
x∈(lna,0)时,ex-elna>0,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;
x∈(0,+∞)时,ex-elna>0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增.
∴当x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=-2a-1.
当x=lna时,函数h(x)取得极大值,h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
②当a=1时,lna=0,x∈R时,h′(x)≥0,∴函数h(x)在R上单调递增.
③10,x∈(-∞,0)时,ex-elna<0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;
x∈(0,lna)时,ex-elna<0,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;
x∈(lna,+∞)时,ex-elna>0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增.
∴当x=0时,函数h(x)取得极大值,h(0)=-2a-1.
当x=lna时,函数h(x)取得极小值,h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
综上所述:a≤0时,函数h(x)在(0,+∞)单调递增;x<0时,函数h(x)在(-∞,0)单调递减.
x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=-1-2a.
02a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
当a=1时,lna=0,函数h(x)在R上单调递增.
a>1时,函数h(x)在(-∞,0),(lna,+∞)上单调递增;函数h(x)在(0,lna)上单调递减.当x=0时,函数h(x)取得极大值,h(0)=-2a-1.当x=lna时,函数h(x)取得极小值,h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
∴曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为:y-(π2-2)=2π(x-π).
化为:2πx-y-π2-2=0.
(II)h(x)=g (x)-a f(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx)
h′(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+ex(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)
=2(x-sinx)(ex-a)=2(x-sinx)(ex-elna).
令u(x)=x-sinx,则u′(x)=1-cosx≥0,∴函数u(x)在R上单调递增.
∵u(0)=0,∴x>0时,u(x)>0;x<0时,u(x)<0.
(1)a≤0时,ex-a>0,∴x>0时,h′(x)>0,函数h(x)在(0,+∞)单调递增;
x<0时,h′(x)<0,函数h(x)在(-∞,0)单调递减.
∴x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=-1-2a.
(2)a>0时,令h′(x)=2(x-sinx)(ex-elna)=0.
解得x1=lna,x2=0.
①0x-elna<0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;
x∈(lna,0)时,ex-elna>0,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;
x∈(0,+∞)时,ex-elna>0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增.
∴当x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=-2a-1.
当x=lna时,函数h(x)取得极大值,h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
②当a=1时,lna=0,x∈R时,h′(x)≥0,∴函数h(x)在R上单调递增.
③10,x∈(-∞,0)时,ex-elna<0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;
x∈(0,lna)时,ex-elna<0,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;
x∈(lna,+∞)时,ex-elna>0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增.
∴当x=0时,函数h(x)取得极大值,h(0)=-2a-1.
当x=lna时,函数h(x)取得极小值,h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
综上所述:a≤0时,函数h(x)在(0,+∞)单调递增;x<0时,函数h(x)在(-∞,0)单调递减.
x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=-1-2a.
02a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
当a=1时,lna=0,函数h(x)在R上单调递增.
a>1时,函数h(x)在(-∞,0),(lna,+∞)上单调递增;函数h(x)在(0,lna)上单调递减.当x=0时,函数h(x)取得极大值,h(0)=-2a-1.当x=lna时,函数h(x)取得极小值,h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].
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