(本小题13分)如图所示,PQ为平面的交线,已知二面角为直二面角,,∠BAP＝45°.（1）证明:BC⊥PQ;（2）设点C在平面内的射影为点O,当k取何值时,O在平面ABC内的射影

Question

(本小题13分) 如图所示, PQ 为平面 的交线, 已知二面角 为直二面角,  , ∠ BAP ＝45°.

（1）证明: BC ⊥ PQ ;
（2）设点 C 在平面 内的射影为点 O , 当 k 取何值时, O 在平面 ABC 内的射影G恰好为△ ABC 的重心？
（3）当 时, 求二面角 B － AC － P 的大小.

Answer 1

（1）证明见解析
（2） k ＝1
（3）

（1）在平面 内过点 C 作 CE ⊥ PQ 于点 E , 由题知点 E 与点 A 不重合, 连接 EB .

, 即点 C 在平面 内的射影为点 E ,
所以 .
又 .
, 故  BE ⊥ PQ , 又
, ,
平面 EBC , 故 BC ⊥ PQ .
（2）由（1）知, O 点即为 E 点, 设点 F 是 O 在平面 ABC 内的射影, 连 接 BF 并延长交 AC 于点 D , 由题意可知, 若 F 是△ ABC 的重心, 则点 D 为 AC 的中点.
, 平面角 为直二面角, , 由三垂线定理可知 AC ⊥ BF , 即 AC ⊥ BD , , 即 k ＝1；反之, 当 k ＝1时, 三棱锥 O — ABC 为正三棱锥, 此时, 点 O 在平面 ABC 内的射影恰好为△ ABC 的重心.
（3）由（2）知, 可以 O 为原点, 以 OB 、 OA 、 OC 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O — xyz (如图所示) 

不妨设 , 在 Rt △ OAB 中, ∠ ABO ＝∠ BAO ＝45°, 所以 BO ＝ AO ＝ , 由 CA ＝ CB ＝ kAB 且 得, AC ＝2, , 则 .
所以
设 是平面 ABC 的一个法向量, 由 得
取 x ="1," 得
易知 是平面 的一个法向量,
设二面角 B － AC － P 的平面角为 , 所以 , 由图可知,
二面角 B － AC － P 的大小为 .