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感知如图①,点M是正方形ABCD的边BC上一点,点N是CD延长线上一点,且MA⊥AN,易证△ABM≌△ADN,进而证得BM=DN(不要求证明)应用如图②,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,
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【感知】如图①,点M是正方形ABCD的边BC上一点,点N是CD延长线上一点,且MA⊥AN,易证△ABM≌△ADN,进而证得BM=DN(不要求证明)
【应用】如图②,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°.求证:BE+DF=EF.
【拓展】如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,∠ABC+∠ADC=180°,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,若BD=3,EF=1.7,则四边形BEFD的周长为___.
【应用】如图②,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°.求证:BE+DF=EF.
【拓展】如图③,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,∠ABC+∠ADC=180°,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,若BD=3,EF=1.7,则四边形BEFD的周长为___.
▼优质解答
答案和解析
【应用】如图②中,过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠B=∠BAD=∠ADC=90°.
∴∠B=∠ADG=90°,∠BAE+∠EAD=90°.
∵AG⊥AE,∴∠DAG+∠EAD=90°.
∴∠BAE=∠DAG.
在△ABE和△ADG中,
,
∴△ABE≌△ADG.
∴AE=AG,BE=DG.
∵∠EAF=45°,AG⊥AE,
∴∠EAF=∠GAF=45°.
在△FAE和△FAG中,
,
∴△AEF≌△AGF.
∴EF=FG.
∵FG=DF+DG=DF+BE,
∴BE+DF=EF.
【拓展】如图③中,过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G.
∵AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°
∴∠ABE=∠ADG,
∵AG⊥AE,∴∠DAG+∠EAD=90°.
∵∠BAE+∠EAD=90°
∴∠BAE=∠DAG.
在△ABE和△ADG中,
,
∴△ABE≌△ADG.
∴AE=AG,BE=DG.
∵∠EAF=45°,AG⊥AE,
∴∠EAF=∠GAF=45°.
在△FAE和△FAG中,
,
∴△AEF≌△AGF.
∴EF=FG.
∵FG=DF+DG=DF+BE,
∴BE+DF=EF.
∴四边形BEFD的周长为EF+(BE+DF)+DB=1.7+1.7+4=6.4,
故答案为6.4
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠B=∠BAD=∠ADC=90°.
∴∠B=∠ADG=90°,∠BAE+∠EAD=90°.
∵AG⊥AE,∴∠DAG+∠EAD=90°.
∴∠BAE=∠DAG.
在△ABE和△ADG中,
|
∴△ABE≌△ADG.
∴AE=AG,BE=DG.
∵∠EAF=45°,AG⊥AE,
∴∠EAF=∠GAF=45°.
在△FAE和△FAG中,
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∴△AEF≌△AGF.
∴EF=FG.
∵FG=DF+DG=DF+BE,
∴BE+DF=EF.
【拓展】如图③中,过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G.
∵AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°
∴∠ABE=∠ADG,
∵AG⊥AE,∴∠DAG+∠EAD=90°.
∵∠BAE+∠EAD=90°
∴∠BAE=∠DAG.
在△ABE和△ADG中,
|
∴△ABE≌△ADG.
∴AE=AG,BE=DG.
∵∠EAF=45°,AG⊥AE,
∴∠EAF=∠GAF=45°.
在△FAE和△FAG中,
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∴△AEF≌△AGF.
∴EF=FG.
∵FG=DF+DG=DF+BE,
∴BE+DF=EF.
∴四边形BEFD的周长为EF+(BE+DF)+DB=1.7+1.7+4=6.4,
故答案为6.4
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