当且仅当实数a,b,c满足什么条件时...一道一元二次不等式的相关题,当且仅当实数a,b,c满足什么条件时,不等式a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)≥0对任何x,y,z都成立

Question

当且仅当实数a,b,c满足什么条件时...一道一元二次不等式的相关题,
当且仅当实数a,b,c满足什么条件时,不等式a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)≥0对任何x,y,z都成立

Answer 1

令x-y=B、y-z=C、z-x=A,那A+B+C=0,
于是原式变为aBC+bAC+cBA小于等于0
将B=-(A+C)代入整理得：cA^2+aC^2+(a+c-b)AC大于等于0
令z=y,即C=0 整理得：cA^2≥0
所以c≥0.同理可得a≥0,b≥0
再把cA^2+aC^2+(a+c-b)AC中A^2提出,
得：A^2(c(C/A)^2+(a+c-b)(C/A)+a)≥0
即c(C/A)^2+(a+c-b)(C/A)+a≥0
于是判别式大于0,化简得2(ab+bc+ac)≥a^2+b^2+c^2
于是当2(ab+bc+ac)≥a^2+b^2+c^2且c≥0.a≥0,b≥0时成立.
上述过程均可逆推,可得“仅当”
于是得证