已知函数f（x）=xlnx，g（x）=k（x-1）．（Ⅰ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的值；（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有一根为x1（x1＞1），方程f′（x）=g′（x）的根为x0，是否存在实数k，使x1x0=k

Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=k（x-1）．
（Ⅰ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数k的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有一根为x₁（x₁＞1），方程f′（x）=g′（x）的根为x₀，是否存在实数k，使(x1)/(x0)=k？若存在，求出所有满足条件的k值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）注意到函数f（x）的定义域为（0，+∞），
所以f（x）≥g（x）恒成立，等价于(f(x))/(x)≥(g(x))/(x)恒成立，
设h（x）=lnx-(k(x−1))/(x)（x＞0），
则h′（x）=(x−k)/(x2)，------------（2分）
当k≤0时，h′（x）＞0对x＞0恒成立，所以h（x）是（0，+∞）上的增函数，
注意到h（1）=0，所以0＜x＜1时，h（x）＜0不合题意．-------（4分）
当k＞0时，若0＜x＜k，h′（x）＜0；若x＞k，h′（x）＞0．
所以h（x）是（0，k）上的减函数，是（k，+∞）上的增函数，
故只需h（x）_min=h（k）=lnk-k+1≥0．--------（6分）
令u（x）=lnx-x+1（x＞0），u′（x）=(1−x)/(x)，
当0＜x＜1时，u′（x）＞0； 当x＞1时，u′（x）＜0．
所以u（x）是（0，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数．
故u（x）≤u（1）=0当且仅当x=1时等号成立．
所以当且仅当k=1时，h（x）≥0成立，即k=1为所求．--------（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当k≤0或k=1时，f（x）=g（x），即h（x）=0仅有唯一解x=1，不合题意；
当0＜k＜1时，h（x）是（k，+∞）上的增函数，对x＞1，有h（x）＞h（1）=0，
所以f（x）=g（x）没有大于1的根，不合题意．---------（8分）
当k＞1时，由f′（x）=g′（x）解得x₀=e^k-1，若存在x₁=kx₀=ke^k-1，
则lnk-1+e^1-k=0，
令v（x）=lnx-1+e^1-x，v′(x)＝(ex−ex)/(xex)，
令s（x）=e^x-ex，s′（x）=e^x-e，当x＞1时，总有s′（x）＞0，
所以s（x）是（1，+∞）上的增函数，即s（x）=e^x-ex＞s（1）=0，
故v′（x）＞0，v（x）在（1，+∞）上是增函数，
所以v（x）＞v（1）=0，即lnk-1+e^1-k=0在（1，+∞）无解．
综上可知，不存在满足条件的实数k．----------------------（12分）