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如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,,点M在线段EC上.(I)当点M为EC中点时,求证:BM∥平面ADEF;(II)当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥
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如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,,点M在线段EC上.
(I)当点M为EC中点时,求证:BM∥平面ADEF;
(II)当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥M-BDE的体积.
(I)当点M为EC中点时,求证:BM∥平面ADEF;
(II)当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时,求三棱锥M-BDE的体积.
▼优质解答
答案和解析
(I)建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,验证,即,从而可证BM∥平面ADEF;
(II)利用平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为,确定点M为EC中点,从而可得S△DEM=2,AD为三棱锥B-DEM的高,即可求得三棱锥M-BDE的体积.
(I)证明:以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0)C(0,4,0),E(0,0,2),所以M(0,2,1).
∴--------(2分)
又是平面ADEF的一个法向量.
∵,∴
∴BM∥平面ADEF------(4分)
(II)【解析】
设M(x,y,z),则,
又,设,则x=0,y=4λ,z=2-2λ,即M(0,4λ,2-2λ).(6分)
设是平面BDM的一个法向量,则
取x1=1得 即
又由题设,是平面ABF的一个法向量,------(8分)
∴--(10分)
即点M为EC中点,此时,S△DEM=2,AD为三棱锥B-DEM的高,
∴VM-BDE=----------(12分)
(II)利用平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为,确定点M为EC中点,从而可得S△DEM=2,AD为三棱锥B-DEM的高,即可求得三棱锥M-BDE的体积.
(I)证明:以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0)C(0,4,0),E(0,0,2),所以M(0,2,1).
∴--------(2分)
又是平面ADEF的一个法向量.
∵,∴
∴BM∥平面ADEF------(4分)
(II)【解析】
设M(x,y,z),则,
又,设,则x=0,y=4λ,z=2-2λ,即M(0,4λ,2-2λ).(6分)
设是平面BDM的一个法向量,则
取x1=1得 即
又由题设,是平面ABF的一个法向量,------(8分)
∴--(10分)
即点M为EC中点,此时,S△DEM=2,AD为三棱锥B-DEM的高,
∴VM-BDE=----------(12分)
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