（2014•黄浦区一模）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示：（1）连结BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；（2）连结A1C、A1B，

Question

（2014•黄浦区一模）已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为2，A₁在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示：
（1）连结BC₁，求异面直线AA₁与BC₁所成角的大小；
（2）连结A₁C、A₁B，求三棱锥C₁-BCA₁的体积．

Answer 1

如图，；
（1）联结AO，并延长与BC交于点D，则AD是BC边上的中线．点O是正△ABC的中心，且A₁O⊥平面ABC，
∴BC⊥AD，BC⊥A₁O，且AD∩A₁O=O．
∴BC⊥平面ADA₁．
∴BC⊥AA₁．
又AA₁∥CC₁，
∴异面直线AA₁与BC₁所成的角为∠BC₁C．
∴CC₁⊥BC，
即四边形BCC₁B₁为正方形．
∴异面直线AA₁与BC₁所成角的大小为(π)/(4)．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，
∴AD=√(3)，AO=(2)/(3)AD=(2√(3))/(3)，
A₁O=√(AA12−AO2)=(2√(6))/(3)．
∴VABC−A1B1C1=S_△ABC•A₁O=(√(3))/(4)×2²×

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作业帮用户 2017-10-03

问题解析

（1）根据异面直线所成的角的定义找出异面直线AA₁与BC₁所成的角，再求出异面直线AA₁与BC₁所成角的大小．
（2）由题意，先求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积VABC−A1B1C1，在求得VA1−B1C1CB的大小，从而得VC1−BCA1的大小．

名师点评

本题考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．

考点点评：

本题考查了空间中的异面直线所成的角以及求几何体的体积等问题，解题时应画出图形，数形结合，适当地转化计算方法，是中档题．

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