如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．(1)证明PB⊥平面EFD；(2)求二面角C-PB-D的大小．(3)求点A到面EBD的距离．

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
(1)证明PB⊥平面EFD；
(2)求二面角C-PB-D的大小．
(3)求点A到面EBD的距离．

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Answer 1

【分析】由于本题给出了三条两两垂直且相交于一点的三条直线DA、DP、DC，故可以考虑建立空间直角坐标系，用向量法解决．对于问题(1)，由于条件中已经给出了EF⊥PB，故只需再证明PB⊥DE即可，二者的坐标都可以求出，只需计算即可得证．
\n对于问题(2)，平面PBD一个法向量已经给出，只需找出平面PBC的一个法向量即可，由于三角形PDC是等腰直角三角形，E是PC的中点，容易得到DE⊥PC，而BC与平面PDC垂直容易证明，故能证明所以=(0，，)是平面PBC的一个法向量，所以只需求这两个法向量的夹角即可；
\n对于问题(3)，求点A到面EBD的距离，只需求出平面EBD的一个法向量，A到面EBD的距离转化为向量AB在这个法向量上的投影即可．

建立空间直角坐标系，如图．则A(1，0，0)，B(1，1，0)，
\nC(0，1，0)，D，(0，0，0)，P(0，0，1)，E(0，，)
\n(1)P=(1，1，-1)，=(0，，)
\n因为=(1，1，-1)•(0，，)=0，
\n所以．又已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD


\n(2)由题知，=(-1，1，0)是平面PBD的一个法向量
\n又═(0，1，-1)•(0，，)=0，
\n所以=(0，，)是平面PBC的一个法向量
\ncos，≥从而二面角C-PB-D的大小为60°
\n(3)设平面EBD的一个法向量为(x，y，z)
\n则有
\n所以=(1，-1，1)是平面EBD的一个法向量．点A到面EBD距离

【点评】本题考查线面垂直的判定、二面角的求法、点到面的距离的计算，在本题的条件下，选择使用向量法，将证明问题转化为向量的计算问题，使问题简单化，但是要注意求二面角时先求两个半平面的法向量，再计算其夹角；点A到面EBD的距离转化成向量AB在面EBD的一个法向量上的投影．