一个小圆沿着一个直径是它的3倍的大圆的圆周滚动,当它回到起点时,它转了几圈?有本书上答案说是4圈,可我觉得应是3圈,望广大爱好数学的师生给予指导

Question

一个小圆沿着一个直径是它的3倍的大圆的圆周滚动,当它回到起点时,它转了几圈?
有本书上答案说是4圈,可我觉得应是3圈,望广大爱好数学的师生给予指导

Answer 1

设大院的半径是小圆半径的d倍.
当小圆在大圆的外壁上运动时,设小圆半径为r.则大圆半径为dr,小圆的圆周绕一圈时,小圆圆周为2πr.该圆弧相当大圆对应的弧度为2πr/dr=2π/d.此时小圆相对大圆圆心转过的角度为
2π+2π/d=2π(d+1)/d
当小圆绕大圆一周时,
走过的角度为[2π(d+1)/d]*d=2π(d+1)π
是d+1圈.
同理如果小圆沿大圆内壁运动时,是d-1圈.
根据题设d=3,因此有
当小圆在大圆的外壁上运动时,小圆转动了4圈；
当小圆在大圆的内壁上运动时,小圆转动了2圈.