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(2005•吉林)在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=6,沿EF折叠后,点C落在AB边上的点P处,点D落在点Q处,AD与PQ相交于点H,∠BPE=30°.(1)BE的长为,QF的长为;(2)四边形PEFH的面积为
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(2005•吉林)在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=6,沿EF折叠后,点C落在AB边上的点P处,点D落在点Q处,AD与PQ相交于点H,∠BPE=30°.
(1)BE的长为______,QF的长为______;
(2)四边形PEFH的面积为______
(1)BE的长为______,QF的长为______;
(2)四边形PEFH的面积为______
▼优质解答
答案和解析
(1)由于在Rt△PBE中,∠BPE=30°,设BE=x,然后根据三角函数的定义用x分别表示PE,PB,而BE+EC=BC,由此可以得到关于x的方程,解方程即可求出BE,接着求出PB,PA,PH,最后根据已知利用三角函数即可QF的值;
(2)根据已知可以得到四边形PEFH的面积等于梯形EFCD的面积减去三角形HFQ的面积,所以分别求出梯形EFCD的面积和三角形HFQ的面积即可.
【解析】
(1)设BE=x,在Rt△PBE中,∠BPE=30°,
∴PE=2x,PB=x,
由题意得EC=EP=2x,
∵BE+EC=BC,
∴3x=6,x=2,即BE=2,
∴EC=4,PB=2
∴PA=,
在Rt△APH中,∠APH=60°,
∴AH=3,PH=2
∴HQ=PQ-PH=,
在Rt△HQF中,∠QHF=30°,
tan∠QHF=,
∴QF=1;
(2)∵S梯形FECD=(1+4)×3=,
∴S△HFQ=,
∴S四边形PEFH=S梯形FECD-S△HFQ=.
(2)根据已知可以得到四边形PEFH的面积等于梯形EFCD的面积减去三角形HFQ的面积,所以分别求出梯形EFCD的面积和三角形HFQ的面积即可.
【解析】
(1)设BE=x,在Rt△PBE中,∠BPE=30°,
∴PE=2x,PB=x,
由题意得EC=EP=2x,
∵BE+EC=BC,
∴3x=6,x=2,即BE=2,
∴EC=4,PB=2
∴PA=,
在Rt△APH中,∠APH=60°,
∴AH=3,PH=2
∴HQ=PQ-PH=,
在Rt△HQF中,∠QHF=30°,
tan∠QHF=,
∴QF=1;
(2)∵S梯形FECD=(1+4)×3=,
∴S△HFQ=,
∴S四边形PEFH=S梯形FECD-S△HFQ=.
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