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(2013•蒙城县模拟)已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A,将正方形AEFG绕点A旋转.(1)发现:当E点旋转到DA的延长线上时(如图1),△ABE与△ADG的面积关系是:.(2)引申:当正
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(2013•蒙城县模拟)已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A,将正方形AEFG绕点A旋转.
(1)发现:当E点旋转到DA的延长线上时(如图1),△ABE与△ADG的面积关系是:______.
(2)引申:当正方形AEFG旋转任意一个角度时(如图2),△ABE与△ADG的面积关系是:______.并证明你的结论.
(3)运用:已知△ABC,AB=5cm,BC=3cm,分别以AB、BC、CA为边向外作正方形(如图3),则图中阴影部分的面积和的最大值是______cm2.
(1)发现:当E点旋转到DA的延长线上时(如图1),△ABE与△ADG的面积关系是:______.
(2)引申:当正方形AEFG旋转任意一个角度时(如图2),△ABE与△ADG的面积关系是:______.并证明你的结论.
(3)运用:已知△ABC,AB=5cm,BC=3cm,分别以AB、BC、CA为边向外作正方形(如图3),则图中阴影部分的面积和的最大值是______cm2.
▼优质解答
答案和解析
(1)相等;
(2)相等,
证明:如图,延长BA到点P,过点E作EP⊥BP于点P;
延长AD到点Q,过点G作GQ⊥AQ于点Q.
∴∠P=∠Q=90°
∵四边形AGFE,ABCD均为正方形
∴AE=AG,AB=AD,∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
∴△APE≌△AQG(AAS)
∴EP=GQ
又∵S△ABE=
AB•EP
S△AGD=
AD•GQ
∴S△ABE=S△AGD(7分)
(3)根据(2)得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍,
若图中阴影部分的面积和的最大值,则三角形ABC的面积最大,
∴△ABC是直角三角形,∠B是直角,
∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3×3×5÷2=22.5cm2,
故答案为:相等;相等;22.5.
(2)相等,
证明:如图,延长BA到点P,过点E作EP⊥BP于点P;
延长AD到点Q,过点G作GQ⊥AQ于点Q.
∴∠P=∠Q=90°
∵四边形AGFE,ABCD均为正方形
∴AE=AG,AB=AD,∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
∴△APE≌△AQG(AAS)
∴EP=GQ
又∵S△ABE=
1 |
2 |
S△AGD=
1 |
2 |
∴S△ABE=S△AGD(7分)
(3)根据(2)得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍,
若图中阴影部分的面积和的最大值,则三角形ABC的面积最大,
∴△ABC是直角三角形,∠B是直角,
∴S阴影部分面积和=3S△ABC=3×3×5÷2=22.5cm2,
故答案为:相等;相等;22.5.
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