如图，设点P是椭圆E：x24+y2＝1上的任意一点（异于左，右顶点A，B）．（1）若椭圆E的右焦点为F，上顶点为C，求以F为圆心且与直线AC相切的圆的半径；（2）设直线PA，PB分别交直线l：x＝103与

Question

如图，设点P是椭圆E：(x2)/(4)+y2＝1上的任意一点（异于左，右顶点A，B）．
（1）若椭圆E的右焦点为F，上顶点为C，求以F为圆心且与直线AC相切的圆的半径；
（2）设直线PA，PB分别交直线l：x＝(10)/(3)与点M，N，求证：PN⊥BM．

Answer 1

（1）由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，1），F（√(3)，0），
直线AC的方程为x-2y+2=0（2分）
设圆F的半径为r，则由以F为圆心的圆与直线AC相切可得圆心F到直线AC的距离为圆的半径r
∴r=(|√(3)+2|)/(√(12+22))=(√(15)+2√(5))/(5)（5分）
（2）设P（x₀，y₀），直线AP，BP分别交直线x=(10)/(3)于M（(10)/(3)，y1），N（(10)/(3)，y2）两点
∵A，P，M三点共线
∴K_AP=K_AM即(y0)/(x0+2)＝(y1)/((10)/(3)+2)，整理可得，y1＝(16y0)/(3(x0+2))（7分）
同理可得，<

作业帮用户 2017-09-27

问题解析

（1）先求出直线AC的方程，由直线与圆心相切的性质可知，圆心到直线的距离等于半径可求r
（2）要证明PN⊥BM，只要证明

PN

•

BM

＝0，先设P的坐标，及直线AP，BP与直线x=(10)/(3)的交点M，N，由A，P，M三点共线可知AM，BM的斜率相等，AN，BN的斜率相等，结合点P在椭圆上，可寻求P，M，N的坐标的关系，代入即可证明

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式；圆的切线方程．

考点点评：

本题主要考查了点到直线的距离公司的应用，三点共线性质的应用，直线与圆的相交关系的应用，及向量的数量积的性质在证明几何关系中的应用，属于综合性试题

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