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如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P,分别交AC和BC的延长线于E,D.过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H,交BC的延长线于点F,连接AF交DH于点G.则下列
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如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P,分别交AC和BC的延长线于E,D.过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H,交BC的延长线于点F,连接AF交DH于点G.则下列结论:①∠APB=45°;②PF=PA;③BD-AH=AB;④DG=AP+GH.其中正确的是( )
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▼优质解答
答案和解析
①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线, ∴∠ABP=
∠CAP=
在△ABP中,∠APB=180°-∠BAP-∠ABP, =180°-(45°+
=180°-45°-
=45°,故本小题正确; ②③∵∠ACB=90°,PF⊥AD, ∴∠FDP+∠HAP=90°,∠AHP+∠HAP=90°, ∴∠AHP=∠FDP, ∵PF⊥AD, ∴∠APH=∠FPD=90°, 在△AHP与△FDP中,
∴△AHP≌△FDP(AAS), ∴DF=AH, ∵AD为∠BAC的外角平分线,∠PFD=∠HAP, ∴∠PAE+∠BAP=180°, 又∵∠PFD+∠BFP=180°, ∴∠PAE=∠PFD, ∵∠ABC的角平分线, ∴∠ABP=∠FBP, 在△ABP与△FBP中,
∴△ABP≌△FBP(AAS), ∴AB=BF,AP=PF故②小题正确; ∵BD=DF+BF, ∴BD=AH+AB, ∴BD-AH=AB,故③小题正确; ④∵PF⊥AD,∠ACB=90°, ∴AG⊥DH, ∵AP=PF,PF⊥AD, ∴∠PAF=45°, ∴∠ADG=∠DAG=45°, ∴DG=AG, ∵∠PAF=45°,AG⊥DH, ∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形, ∴DG=AG,GH=GF, ∴DG=GH+AF, ∵AF>AP, ∴DG=AP+GH不成立,故本小题错误, 综上所述①②③正确. 故选A. |
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