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已知函数f(x)=的图象为曲线C,函数g(x)=ax+b的图象为直线l.(1)当a=2,b=-3时,求F(x)=f(x)-g(x)的最大值;(2)设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1,x2,且x1≠x2,求证:(x1+x
题目详情
已知函数f(x)=
的图象为曲线C,函数g(x)=
ax+b的图象为直线l.
(1)当a=2,b=-3时,求F(x)=f(x)-g(x)的最大值;
(2)设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1,x2,且x1≠x2,求证:(x1+x2)g(x1+x2)>2.
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(1)当a=2,b=-3时,求F(x)=f(x)-g(x)的最大值;
(2)设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1,x2,且x1≠x2,求证:(x1+x2)g(x1+x2)>2.
▼优质解答
答案和解析
(1)由a=2,b=-3,知
,x∈(0,1),F'(x)>0,F'(x)单调递增,x∈(1,+∞),F'(x)<0,F'(x)单调递减,由此能求出F(x)=f(x)-g(x)的最大值.
(2)设x1<x2,要证(x1+x2)g(x1+x2)>2,只需证
,由此入手,能够证明(x1+x2)g(x1+x2)>2.
【解析】
(1)∵
,
,
x∈(0,1),F'(x)>0,F'(x)单调递增,
x∈(1,+∞),F'(x)<0,F'(x)单调递减,
∴F(x)max=F(1)=2
(2)不妨设x1<x2,要证(x1+x2)g(x1+x2)>2,只需证
,
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,
,
∵![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4bed2e738bd4b31c6021870b82d6277f9e2ff865.jpg)
,
∴
,即
,∴
,
令
,x∈(x1,+∞).只需证
,
,令
,则
,G(x)在x∈(x1,+∞)单调递增.
G(x)>G(x1)=0,∴H′(x)>0,∴H(x)在x∈(x1,+∞)单调递增.H(x)>H(x1)=0,
H(x)=(x+x1)ln
-2(x-x1)>0,∴(x1+x2)g(x1+x2)>2.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9345d688d43f879401e25b9ed71b0ef41bd53a64.jpg)
(2)设x1<x2,要证(x1+x2)g(x1+x2)>2,只需证
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b7fd5266d01609241838b1abd10735fae6cd3464.jpg)
【解析】
(1)∵
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x∈(0,1),F'(x)>0,F'(x)单调递增,
x∈(1,+∞),F'(x)<0,F'(x)单调递减,
∴F(x)max=F(1)=2
(2)不妨设x1<x2,要证(x1+x2)g(x1+x2)>2,只需证
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b3b7d0a20cf431ad8cea50894e36acaf2edd9841.jpg)
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∵
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4bed2e738bd4b31c6021870b82d6277f9e2ff865.jpg)
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∴
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令
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G(x)>G(x1)=0,∴H′(x)>0,∴H(x)在x∈(x1,+∞)单调递增.H(x)>H(x1)=0,
H(x)=(x+x1)ln
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7a899e510fb30f24fea2ffb3cd95d143ad4b0341.jpg)
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