已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1．（1）求曲线C的方程；（2）过点F作直线l与曲线C交于A、B两点．（ⅰ）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其

Question

已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F作直线l与曲线C交于A、B两点．
（ⅰ）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，证明：MA⊥MB；
（ⅱ）是否在y轴上存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．

Answer 1

（1）依题意有

(y-1) 2 + x 2

=|y+2|-1 ，由显然y＞-2，得

(y-1) 2 + x 2

=|y+1| ，化简得x ² =4y；
（2）（ⅰ）∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+8．
A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ）．
由

y=kx+1

y=(1)/(4) x 2 .

可得 x ² -4kx-4=0，x ₁ +x ₂ =4k，x ₁ x ₂ =-4
抛物线方程为 y=(1)/(4) x 2 ，求导得y′=(1)/(2) x ．
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是 k AM =(1)/(2) x 1 ， k BM =(1)/(2) x 2 ，
∴ k AM • k BM =(1)/(2) x 1 ×(1)/(2) x 2 =(1)/(4) x 1 x 2 =-1 即AM⊥BM
（ⅱ）设点Q（0，t），此时 k AQ =(y1 -t)/(x1) ， k BQ =(y2 -t)/(x2) ，
由（ⅰ）可知故 k AQ + k BQ =((x12)/(4)-t)/(x1) +((x22)/(4)-t)/(x2) =(x1 x2 ( x1 + x2 )-4t( x1 + x2 ))/(4 x1 x2) =0 对一切k恒成立
即：k（8+t）=0
故当t=-1，即Q（0，-1）时，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP=∠BQP