已知函数f（x）=exx-kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是（）A.（0，2）B.（0，e24）C.（0，e）D.（0，+∞）

Question

已知函数f（x）=

(ex)/(x)-kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围是（　　）

A. （0，2）

B. （0，

(e2)/(4)）

C. （0，e）

D. （0，+∞）

Answer 1

f（x）=0，即(ex)/(x)-kx=0，
∵x≠0，
∴k=(ex)/(x2)，
令g（x）=(ex)/(x2)，
则g′（x）=(ex(x-2))/(x3)，
令g′（x）=0，解得x=1，
当x>2或x<0时，g′（x）>0，函数g（x）单调递增，
当0<x<2时，g′（x）<0，函数g（x）单调递增，
∴当x=2时，函数有极小值，即g（2）=(e2)/(4)，
且当x<0，时，f（x）∈（0，+∞），
∵函数f（x）=(ex)/(x)-kx（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，结合图象可得，
∴0<k<(e2)/(4)，
故选：B