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已知函数(1)判断函数的奇偶性;(2)证明函数f(x)在[-1,0]为增函数,并判断它在[0,1]上的单调性;(3)求f(x)的最大值.
题目详情
已知函数
(1)判断函数的奇偶性;
(2)证明函数f(x)在[-1,0]为增函数,并判断它在[0,1]上的单调性;
(3)求f(x)的最大值.____
(1)判断函数的奇偶性;
(2)证明函数f(x)在[-1,0]为增函数,并判断它在[0,1]上的单调性;
(3)求f(x)的最大值.____
▼优质解答
答案和解析
【分析】这道题考查的是函数最基本的性质,第一问是奇偶性的考查,首先应看定义域是否关于原点对称再用定义判断,第二问是单调性的证明及判断,直接套用单调性的定义及一的结论即可,第三问是在第二问的基础上出的,用第二问的结论即可
(1)由1-x2≥0,得,即函数的定义域为x|-1≤x≤1,关于原点对称.
\n又,则=f(x)
\n所以函数是偶函数.
\n(2)设-1≤x1<x2≤0,则f(x1)-f(x2)=
\n=
\n===
\n因为-1≤x1<x2≤0,所以x2-x1>0,x2+x1<0,>0
\n所以<0
\n即f(x1)-f(x2)<0
\n所以f(x1)<f(x2)
\n故函数f(x)在[-1,0]上是增函数.
\n同理可得:函数f(x)在[0,1]上是减函数.
\n(3)因为函数f(x)在[-1,0]上是增函数,在[0,1]上是减函数,
\n所以当x=0时f(x)可取最大值,
\n即ymax=f(0)=1
\n又,则=f(x)
\n所以函数是偶函数.
\n(2)设-1≤x1<x2≤0,则f(x1)-f(x2)=
\n=
\n===
\n因为-1≤x1<x2≤0,所以x2-x1>0,x2+x1<0,>0
\n所以<0
\n即f(x1)-f(x2)<0
\n所以f(x1)<f(x2)
\n故函数f(x)在[-1,0]上是增函数.
\n同理可得:函数f(x)在[0,1]上是减函数.
\n(3)因为函数f(x)在[-1,0]上是增函数,在[0,1]上是减函数,
\n所以当x=0时f(x)可取最大值,
\n即ymax=f(0)=1
【点评】函数的单调性奇偶性及最值,是常考的基本点,只要基本功好,对函数性质全面地了解,才能做到有的放矢,克服难关.
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