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(2002•海淀区)如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAF交⊙O于点E,过点E作直线与AF垂直交AF延长线于D点,且交AB延长线于C点.(1)求证:CD与⊙O相切于点E;(2)若CE•DE=,AD=3,求⊙O的直径及
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(2002•海淀区)如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAF交⊙O于点E,过点E作直线与AF垂直交AF延长线于D点,且交AB延长线于C点.
(1)求证:CD与⊙O相切于点E;
(2)若CE•DE=,AD=3,求⊙O的直径及∠AED的正切值.
(1)求证:CD与⊙O相切于点E;
(2)若CE•DE=,AD=3,求⊙O的直径及∠AED的正切值.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题可知,E已经是圆上一点,欲证CD为切线,只需证明∠OED=90°即可.
(2)欲求圆的直径,必须求出半径OA或OB或OE,可以把题中所求部分抽象到相似三角形中来考虑,借助于比例线段来求解.∠AED的正切值则必须求出AD以及ED的值.
(1)证明:连接OE,
∵AE平分∠BAF,
∴∠OAE=∠EAD.
∵OE=OA,
∴∠OEA=∠OAE.
∴∠OEA=∠EAD.
∴OE∥AD.
∵∠OED=∠ADC=90°且E在⊙O上,
∴CD与⊙O相切于点E.
(2)【解析】
连接BE、EF,
∵AB为直径,
∴RT△BAE∽RT△EAD.
∴①
∵CD与⊙O相切于点E,
∴∠CEB=∠OAE.
∵∠C为公共角,
∴△CBE∽△CEA.
∴②
由①②得
,
∴DE•EC=AD•CB.
∵CE•DE=,AD=3,
∴.
由(1)知OE∥AD
∴.
设OE=x(x>0),
则CO=,CA=,
∴.
∴x=-1(舍去)或x=.
∴⊙O直径为.
∴CA=CB+BA=5.
由切割线定理知CE2=CB•CA=,
∴.
∴.
∴tan∠AED=.
(2)欲求圆的直径,必须求出半径OA或OB或OE,可以把题中所求部分抽象到相似三角形中来考虑,借助于比例线段来求解.∠AED的正切值则必须求出AD以及ED的值.
(1)证明:连接OE,
∵AE平分∠BAF,
∴∠OAE=∠EAD.
∵OE=OA,
∴∠OEA=∠OAE.
∴∠OEA=∠EAD.
∴OE∥AD.
∵∠OED=∠ADC=90°且E在⊙O上,
∴CD与⊙O相切于点E.
(2)【解析】
连接BE、EF,
∵AB为直径,
∴RT△BAE∽RT△EAD.
∴①
∵CD与⊙O相切于点E,
∴∠CEB=∠OAE.
∵∠C为公共角,
∴△CBE∽△CEA.
∴②
由①②得
,
∴DE•EC=AD•CB.
∵CE•DE=,AD=3,
∴.
由(1)知OE∥AD
∴.
设OE=x(x>0),
则CO=,CA=,
∴.
∴x=-1(舍去)或x=.
∴⊙O直径为.
∴CA=CB+BA=5.
由切割线定理知CE2=CB•CA=,
∴.
∴.
∴tan∠AED=.
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