已知数列{an}的前n项和Sn=n2+bn（b为常数），且对于任意的k∈N*，ak，a2k，a4k构成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{1anan+1}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＜313成立的n的最大值．

Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+bn（b为常数），且对于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k构成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{(1)/(anan+1)}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＜(3)/(13)成立的n的最大值．

Answer 1

（1）∵a_n=S_n-S_n-1=n²+bn-（n-1）²-b（n-1）=2n+b-1，（n≥2）
∴当n=1时，a₁=s₁=1+b，
∴a_n=2n+b-1．
由a_k，a_2k，a_4k成等比数列可得：（4k+b-1）²=（2k+b-1）（8k+b-1）
化简得：2k（b-1）=0，
∵对于任意的k∈N^*恒成立，
∴b=1，∴a_n=2n；
（2）(1)/(anan+1)=(1)/(4)（(1)/(n)-(1)/(n+1)），
∴T_n=(1)/(4)[（1-(1)/(2)）+（(1)/(2)-(1)/(3)）+…+（(1)/(n)-(1)/(n+1)）]=(1)/(4)（1-(1)/(n+1)），
∴T_n＜(3)/(13)成立，即(1)/(4)（1-(1)/(n+1)）＜(3)/(13)，
∴n＜12，
∴使不等式T_n＜(3)/(13)成立的n的最大值为11．