已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（）A．(0，233)B．(0，33)C．(233，1)D．(33，1)

Question

已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（　　）

A．(0，(2√(3))/(3))
B．(0，(√(3))/(3))
C．((2√(3))/(3)，1)
D．((√(3))/(3)，1)

Answer 1

不防设椭圆方程：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝它（a＞b＞四），
再不妨设：B（四，b），三角形重心G（上，四），
延长BG至D，使|GD|=(|BG|)/(2)，
设D（x，y），则

BD

＝(x，y−b)，

BF

＝(上，−b)，
由

BF

＝(2)/(j)

BD

，得：(上，−b)＝(2)/(j)(x，y−b)，
解得：x＝(j)/(2)上，y＝−(b)/(2)．
而D((j)/(2)上，−(b)/(2))是椭圆的内接三角形一边A上的中点，
所以，D点必在椭圆内部，
则(((j)/(2)上)2)/(a2)+((−(b)/(2))2)/(b2)＜它．
把b²=a²-上²代入上式整理得：(上2)/(a2)＜(它)/(j)．
即7＜(√(j))/(j)．
又因为椭圆离心率7∈（四，它），
所以，该椭圆离心率7的取值范围是(四，(√(j))/(j))．
故选B．