设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），若对给定的正数K，定义fK（x）=K，f(x)≤Kf(x)，f(x)＞K，则当函数f（x）=1x，K=1时，∫214fK（x）dx=．

Question

设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），若对给定的正数K，定义f_K（x）=

K  ，f(x)≤K

f(x)，f(x)＞K

，则当函数f（x）=(1)/(x)，K=1时，

∫

2 (1)/(4)

f_K（x）dx=______．

Answer 1

由定义可知当k=1时，f₁（x）=

1，(1)/(x)≤1

(1)/(x)，(1)/(x)＞1

，即f₁（x）=

1．x≥1

(1)/(x)，0＜x＜1

，
则定积分

∫

2 (1)/(4)

f_K（x）dx=

∫

1 (1)/(4)

(1)/(x)dx+

∫

2 1

1dx=lnx|

1

(1)/(4)

+x|

2

1

=ln1-ln(1)/(4)+2-1=1+2ln2，
故答案为：1+2ln2．