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如图,抛物线y=x2+ax+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),顶点为D,(1)求该抛物线的解析式和点D的坐标;(2)点E(x,0)是线段OB上的动点,过点E作EP∥BD,交OD于点P,连接DE.△PE
题目详情
如图,抛物线y=x2+ax+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),顶点为D,
(1)求该抛物线的解析式和点D的坐标;
(2)点E(x,0)是线段OB上的动点,过点E作EP∥BD,交OD于点P,连接DE.△PED的面积为S,求S与x的函数关系式,并求当x为何值时,S最大;
(3)在抛物线是否存在一点Q,使以点B、D、E、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出所有符合条件的Q点的坐标和此时x的值;若不存在,请说明理由.
(1)求该抛物线的解析式和点D的坐标;
(2)点E(x,0)是线段OB上的动点,过点E作EP∥BD,交OD于点P,连接DE.△PED的面积为S,求S与x的函数关系式,并求当x为何值时,S最大;
(3)在抛物线是否存在一点Q,使以点B、D、E、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出所有符合条件的Q点的坐标和此时x的值;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,利用待定系数法求二次函数解析式解答即可;再把抛物线解析式整理成顶点式形式,然后写出顶点D的坐标;
(2)根据点B、D的坐标求出OD、BD的长度,再利用勾股定理逆定理求出∠ODB=90°,然后判断出△OPE和△ODB相似,根据相似三角形对应边成比例列出比例式用x表示出OP、PE,再求出PD,再根据∠EPD=90°,然后利用三角形的面积公式列式整理即可得到S与x的函数关系式,最后根据二次函数的最值问题解答即可;
(3)分①BD为平行四边形的对角线,D、Q重合,不合题意,②ED为平行四边形的对角线,D、Q重合,不合题意,③BE为平行四边形的对角线,作DF⊥x轴于F,作QG⊥x轴于G,可以判定△DFE和△QGB全等,根据全等三角形对应边相等可得QG=DF=,然后代入抛物线解析式求出点Q的横坐标,从而得到点Q的坐标,再求出EF的长,然后根据x=OF+EF,代入数据进行计算即可得解.
【解析】
(1)∵抛物线y=x2+ax+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),
∴,
解得,
所以抛物线的解析式为y=x2-x-;
∵y=x2-x-=(x-1)2-,
∴顶点D的坐标(1,-);
(2)∵B(4,0),D(1,-),
∴OB=4,OD==2,BD==2,
∴OD2+BD2=OB2=16,
∴∠ODB=90°,
∵EP∥BD,
∴△OPE∽△ODB,
∴==,
即==,
解得OP=x,PE=x,
∴PD=OD-OP=2-x,
又∵EP∥BD,
∴∠EPD=180°-∠ODB=180°-90°=90°,
S=×(2-x)×x=-x2+x,
即S=-x2+x,
∵S=-x2+x=-(x-2)2+,
∴当x为2时,S最大;
(3)以点B、D、E、Q为顶点的四边形为平行四边形分三种情况,
①BD为平行四边形的对角线,BE∥DQ,即DQ∥x轴,
所以,直线DQ与抛物线只有一个交点D,Q与D重合,不合题意;
②ED为平行四边形的对角线,BE∥DQ,即DQ∥x轴,
所以,直线DQ与抛物线只有一个交点D,Q与D重合,不合题意;
③BE为平行四边形的对角线,如图,作DF⊥x轴于F,作QG⊥x轴于G,
∵四边形DBQE为平行四边形,
∴DE∥BQ,DE=QB,
∴∠BED=∠EBQ,
∴∠DEF=∠QBG,
∵在△DFE和△QGB中,
,
∴△DFE≌△QGB(AAS),
∴QG=DF=,
当y=时,x2-x-=,
整理得,x2-2x-17=0,
解得x1=1+3,x2=1-3(是负数,舍去),
∴点Q(1+3,),
∴EF=BG=1+3-4=3-3,
x=OE=OF+EF=1+(3-3)=3-2,
∴存在Q(1+3,),使以点B、D、E、Q为顶点的四边形为平行四边形,此时x=3-2.
(2)根据点B、D的坐标求出OD、BD的长度,再利用勾股定理逆定理求出∠ODB=90°,然后判断出△OPE和△ODB相似,根据相似三角形对应边成比例列出比例式用x表示出OP、PE,再求出PD,再根据∠EPD=90°,然后利用三角形的面积公式列式整理即可得到S与x的函数关系式,最后根据二次函数的最值问题解答即可;
(3)分①BD为平行四边形的对角线,D、Q重合,不合题意,②ED为平行四边形的对角线,D、Q重合,不合题意,③BE为平行四边形的对角线,作DF⊥x轴于F,作QG⊥x轴于G,可以判定△DFE和△QGB全等,根据全等三角形对应边相等可得QG=DF=,然后代入抛物线解析式求出点Q的横坐标,从而得到点Q的坐标,再求出EF的长,然后根据x=OF+EF,代入数据进行计算即可得解.
【解析】
(1)∵抛物线y=x2+ax+c(a≠0)与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),
∴,
解得,
所以抛物线的解析式为y=x2-x-;
∵y=x2-x-=(x-1)2-,
∴顶点D的坐标(1,-);
(2)∵B(4,0),D(1,-),
∴OB=4,OD==2,BD==2,
∴OD2+BD2=OB2=16,
∴∠ODB=90°,
∵EP∥BD,
∴△OPE∽△ODB,
∴==,
即==,
解得OP=x,PE=x,
∴PD=OD-OP=2-x,
又∵EP∥BD,
∴∠EPD=180°-∠ODB=180°-90°=90°,
S=×(2-x)×x=-x2+x,
即S=-x2+x,
∵S=-x2+x=-(x-2)2+,
∴当x为2时,S最大;
(3)以点B、D、E、Q为顶点的四边形为平行四边形分三种情况,
①BD为平行四边形的对角线,BE∥DQ,即DQ∥x轴,
所以,直线DQ与抛物线只有一个交点D,Q与D重合,不合题意;
②ED为平行四边形的对角线,BE∥DQ,即DQ∥x轴,
所以,直线DQ与抛物线只有一个交点D,Q与D重合,不合题意;
③BE为平行四边形的对角线,如图,作DF⊥x轴于F,作QG⊥x轴于G,
∵四边形DBQE为平行四边形,
∴DE∥BQ,DE=QB,
∴∠BED=∠EBQ,
∴∠DEF=∠QBG,
∵在△DFE和△QGB中,
,
∴△DFE≌△QGB(AAS),
∴QG=DF=,
当y=时,x2-x-=,
整理得,x2-2x-17=0,
解得x1=1+3,x2=1-3(是负数,舍去),
∴点Q(1+3,),
∴EF=BG=1+3-4=3-3,
x=OE=OF+EF=1+(3-3)=3-2,
∴存在Q(1+3,),使以点B、D、E、Q为顶点的四边形为平行四边形,此时x=3-2.
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