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已知圆O:x2+y2=4,直线l:kx-y-k-1=0(1)判断直线l和圆O的位置关系.(2)求圆心到直线l的距离的最大值.(3)如图所示,圆O与y轴的正方向交于A点,点B在直线y=2上运动,过B做圆O的切线,切
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已知圆O:x2+y2=4,直线l:kx-y-k-1=0
(1)判断直线l和圆O的位置关系.
(2)求圆心到直线l的距离的最大值.
(3)如图所示,圆O与y轴的正方向交于A点,点B在直线y=2上运动,过B做圆O的切线,切点为C,求△ABC垂心H的轨迹.
(1)判断直线l和圆O的位置关系.
(2)求圆心到直线l的距离的最大值.
(3)如图所示,圆O与y轴的正方向交于A点,点B在直线y=2上运动,过B做圆O的切线,切点为C,求△ABC垂心H的轨迹.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵kx-y-k-1=0
∴y=k(x-1)-1
∴直线l经过定点P(1,-1),
又∵(1,-1)在圆的内部
∴直线l与圆O相交.
(2)由(1)知圆心到直线l的最大距离为|OP|=
.
(3)设H(x,y),C(x′,y′),连结AH,CH,
则AH⊥BC,CH⊥AB,BC是切线OC⊥BC,
∴OC∥AH,CH∥OA,OA=OC,
∴四边形AOCH是菱形.
∴|CH|=|OA|=2,得
,
又C(x′,y′),满足x′2+y′2=4,
所以x2+(y-2)2=4,(x≠0)即是所求轨迹方程.
∴y=k(x-1)-1
∴直线l经过定点P(1,-1),
又∵(1,-1)在圆的内部
∴直线l与圆O相交.
(2)由(1)知圆心到直线l的最大距离为|OP|=
2 |
(3)设H(x,y),C(x′,y′),连结AH,CH,
则AH⊥BC,CH⊥AB,BC是切线OC⊥BC,
∴OC∥AH,CH∥OA,OA=OC,
∴四边形AOCH是菱形.
∴|CH|=|OA|=2,得
|
又C(x′,y′),满足x′2+y′2=4,
所以x2+(y-2)2=4,(x≠0)即是所求轨迹方程.
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