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(2008•宁波)如图,把一张标准纸一次又一次对开,得到“2开”纸,“4开”纸,“8开”纸,“16开”纸….已知标准纸的短边长为a.(1)如图2,把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按
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(2008•宁波)如图,把一张标准纸一次又一次对开,得到“2开”纸,“4开”纸,“8开”纸,“16开”纸….已知标准纸的短边长为a.
(1)如图2,把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠:
第一步:将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠,点B落在AD上的点B'处,铺平后得折痕AE;
第二步:将长边AD与折痕AE对齐折叠,点D正好与点E重合,铺平后得折痕AF.
则AD:AB的值是______
(1)如图2,把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠:
第一步:将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠,点B落在AD上的点B'处,铺平后得折痕AE;
第二步:将长边AD与折痕AE对齐折叠,点D正好与点E重合,铺平后得折痕AF.
则AD:AB的值是______
▼优质解答
答案和解析
(1)在图2中,由折叠的性质知,AD=AE,AB=AB′=B′E,∠AB′E=∠B=90°,所以△AB′E是等腰直角三角形,故有AD:AB=,由图知,16开纸的长边是1开纸的长边和四分之一,16开纸的短边也是1开纸的短边和四分之一,故AD=a,AB=a;
(2)由(1)知,1开纸的长边为a,由折叠的性质知,“2开”纸的短边是1开纸的长边的一半,长边是1开纸的短边,“4开”纸的短边是2开纸的长边的一半,长边是2开纸的短边,“8开”纸的短边是4开纸的长边的一半,长边是4开纸的短边,故“2开”纸,“4开”纸,“8开”纸的长与宽之比都相等都等于;
(3)设DG=x,由同角的余角相等可得△HDG∽△GCF,有,得CF=2DG=2x.
同理∠BEF=∠CFG.由EF=FG,得△FBE≌△GCF,有BF=CG由CF+BF=BC,得,求解即为DG的值.
(4)
“4开”纸的短边和短都是1开纸的长边和短边的一半,分别为a,a,如图,梯形有两种情况,①如左图,MN=MQ=2QP=a,则它的面积=(MN+PQ)•MQ=a2.
②如右图,由于“4开”纸的短边和短都是16开纸的长边和短边的2倍,则有BQ=2×a=a,AQ=a,AM=(-1)a.由勾股定理知,MQ2=AM2+AQ2=a,
∴此时的梯形的面积=(MN+PQ)•MQ=a2.
【解析】
(1);
(2)相等,比值为;
(3)设DG=x
在矩形ABCD中,∠B=∠C=∠D=90°
∵∠HGF=90°
∴∠DHG=∠CGF=90°-∠DGH
∴△HDG∽△GCF
∴
∴CF=2DG=2x
同理∠BEF=∠CFG
∵EF=FG
∴△FBE≌△GCF
∴BF=CG=a-x
∵CF+BF=BC
∴
解得,
即;
(4)a2,a2.
(2)由(1)知,1开纸的长边为a,由折叠的性质知,“2开”纸的短边是1开纸的长边的一半,长边是1开纸的短边,“4开”纸的短边是2开纸的长边的一半,长边是2开纸的短边,“8开”纸的短边是4开纸的长边的一半,长边是4开纸的短边,故“2开”纸,“4开”纸,“8开”纸的长与宽之比都相等都等于;
(3)设DG=x,由同角的余角相等可得△HDG∽△GCF,有,得CF=2DG=2x.
同理∠BEF=∠CFG.由EF=FG,得△FBE≌△GCF,有BF=CG由CF+BF=BC,得,求解即为DG的值.
(4)
“4开”纸的短边和短都是1开纸的长边和短边的一半,分别为a,a,如图,梯形有两种情况,①如左图,MN=MQ=2QP=a,则它的面积=(MN+PQ)•MQ=a2.
②如右图,由于“4开”纸的短边和短都是16开纸的长边和短边的2倍,则有BQ=2×a=a,AQ=a,AM=(-1)a.由勾股定理知,MQ2=AM2+AQ2=a,
∴此时的梯形的面积=(MN+PQ)•MQ=a2.
【解析】
(1);
(2)相等,比值为;
(3)设DG=x
在矩形ABCD中,∠B=∠C=∠D=90°
∵∠HGF=90°
∴∠DHG=∠CGF=90°-∠DGH
∴△HDG∽△GCF
∴
∴CF=2DG=2x
同理∠BEF=∠CFG
∵EF=FG
∴△FBE≌△GCF
∴BF=CG=a-x
∵CF+BF=BC
∴
解得,
即;
(4)a2,a2.
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