如图①,半径为R,圆心角为n°的扇形面积是S扇形=nπR2360,由弧长l=nπR180,得S扇形=nπR2360=12•nπR180•R=12lR.通过观察,我们发现S扇形=12lR类似于S三角形=12×底×高.类比扇形,我们探索扇环
如图①,半径为R,圆心角为n°的扇形面积是S扇形=,由弧长l=,得S扇形==••R=lR.通过观察,我们发现S扇形=lR类似于S三角形=×底×高.
类比扇形,我们探索扇环(如图②,两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环)的面积公式及其应用.
(1)设扇环的面积为S扇环,的长为l1,的长为l2,线段AD的长为h(即两个同心圆半径R与r的差).类比S梯形=×(上底+下底)×高,用含l1,l2,h的代数式表示S扇环,并证明;
(2)用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园,线段AD的长h为多少时,花园的面积最大,最大面积是多少?
答案和解析
(1)S
扇环=
(l1+l2)h,
证明:设大扇形半径为R,小扇形半径为r,圆心角度数为n,则由l=,得R=,r=
所以图中扇环的面积S=×l1×R-×l2×r
=l1•-l2•
=(l12-l22)
=(l1+l2)(l1-l2)
=••(R+r)(l1-l2)
=(l1+l2)(R-r)
=(l1+l2)h,
故猜想正确.
(2) 根据题意得:l1+l2=40-2h,
则S扇环=(l1+l2)h
=(40-2h)h
=-h2+20h
=-(h-10)2+100
∵-1<0,
∴开口向下,有最大值,
当h=10时,最大值是100,
即线段AD的长h为10m时,花园的面积最大,最大面积是100m2.
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