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规定Cmx=x(x-1)…(x-m+1)m!,其中x∈R,m是正整数,且CX0=1.这是组合数Cnm(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广.(1)求C-153的值;(2)组合数的两个性质:①Cnm=Cnn-m;②Cnm+Cnm-1=Cn+1m是否都能推
题目详情
规定
=
,其中x∈R,m是正整数,且CX0=1.这是组合数Cnm(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广.
(1)求C-153的值;
(2)组合数的两个性质:①Cnm=Cnn-m;②Cnm+Cnm-1=Cn+1m是否都能推广到Cxm(x∈R,m∈N*)的情形?若能推广,请写出推广的形式并给予证明;若不能请说明理由.
(3)已知组合数Cnm是正整数,证明:当x∈Z,m是正整数时,Cxm∈Z.
C | m x |
x(x-1)…(x-m+1) |
m! |
(1)求C-153的值;
(2)组合数的两个性质:①Cnm=Cnn-m;②Cnm+Cnm-1=Cn+1m是否都能推广到Cxm(x∈R,m∈N*)的情形?若能推广,请写出推广的形式并给予证明;若不能请说明理由.
(3)已知组合数Cnm是正整数,证明:当x∈Z,m是正整数时,Cxm∈Z.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意C-153=
=-C173=-680 …(4分)
(2)性质①Cnm=Cnn-m不能推广,例如x=
时,
有定义,但
无意义;
性质②Cnm+Cnm-1=Cn+1m 能推广,它的推广形式为Cxm+Cxm-1=Cx+1m,x∈R,m∈N*
证明如下:当m=1时,有Cx1+Cx0=x+1=Cx+11; …(1分)
当m≥2时,有Cxm+Cxm-1=
+
=
×(
+1)=
=Cx+1m,(6分)
(3)由题意,x∈Z,m是正整数时
当x≥m时,组合数Cxm∈z成立;
当0≤x<m 时,
=
=0∈Z,结论也成立;
当x<0时,因为-x+m-1>0,∴Cxm=
=(-1)m
=(-1)mC-x+m-1m∈z(7分)
综上所述当x∈Z,m是正整数时,Cxm∈Z
-15×(-16)×(-17) |
3! |
(2)性质①Cnm=Cnn-m不能推广,例如x=
2 |
C | 1
|
C |
|
性质②Cnm+Cnm-1=Cn+1m 能推广,它的推广形式为Cxm+Cxm-1=Cx+1m,x∈R,m∈N*
证明如下:当m=1时,有Cx1+Cx0=x+1=Cx+11; …(1分)
当m≥2时,有Cxm+Cxm-1=
x(x-1)…(x-m+1) |
m! |
x(x-1)…(x-m+2) |
(m-1)! |
x(x-1)…(x-m+2) |
(m-1)! |
(x-m+1) |
m |
x(x-1)…(x-m+1)(x+1) |
m! |
(3)由题意,x∈Z,m是正整数时
当x≥m时,组合数Cxm∈z成立;
当0≤x<m 时,
C | m x |
x(x-1)(x-2)⋅⋅⋅0⋅⋅⋅(x-m+1) |
m! |
当x<0时,因为-x+m-1>0,∴Cxm=
x(x-1)…(x-m+1) |
m! |
(-x+m-1)…(-x+1)(-x) |
m! |
综上所述当x∈Z,m是正整数时,Cxm∈Z
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