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设∑是下半球面x2+y2+z2=2z（0≤z≤1）的下侧，则曲面积分∬2xdydz+2ydzdx+3（z-1）dxdy=143π143π．
题目详情
设∑是下半球面x2+y2+z2=2z（0≤z≤1）的下侧，则曲面积分
2xdydz+2ydzdx+3（z-1）dxdy=
π
π．
| ∬ |
 |
| 14 |
| 3 |
| 14 |
| 3 |
▼优质解答
答案和解析
补充曲面∑1：z＝1(x2+y2≤1)取上侧，则
2xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy
=
2xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy-
2xdydz+2ydzdx+3(z−1)dxdy
=I1-I2
其中I1，设∑+∑1所围成的立体为Ω，由高斯公式，得
I1＝
(2+2+3)dxdydz=7
dxdydz＝7•
•
π＝
π
其中I2，由于∑1在yoz面和zox面的投影为0，由第二类曲面积分的计算方法，得
I2＝
3(1−1)dxdy＝0
∴原式=
π
| ∬ |
|
=
| ∫∫ |
| ∑+∑1 |
| ∫∫ |
| ∑1 |
=I1-I2
其中I1，设∑+∑1所围成的立体为Ω，由高斯公式，得
I1＝
| ∫∫∫ |
| Ω |
| ∫∫∫ |
| Ω |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 14 |
| 3 |
其中I2，由于∑1在yoz面和zox面的投影为0，由第二类曲面积分的计算方法，得
I2＝
| ∫∫ |
| ∑1 |
∴原式=
| 14 |
| 4 |
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