已知函数f（x）=log121-axx-1的图象关于原点对称，其中a为常数．（1）求a的值；（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+log12（x+1）<m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=log12（

Question

已知函数f（x）=log (1)/(2)(1-ax)/(x-1)的图象关于原点对称，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）+log (1)/(2)（x+1）<m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=log (1)/(2)（x+k）在[2，3]上有解，求k的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）的图象关于原点对称，
∴函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即log(1)/(2)(1+ax)/(-x-1)=-log(1)/(2)(1-ax)/(x-1)=log(1)/(2)(x-1)/(1-ax)，
解得：a=-1或a=1（舍）；
（2）f（x）+log(1)/(2)（x-1）=log(1)/(2)(1+x)/(1-x)+log(1)/(2)（x-1）=log(1)/(2)（1+x），
x>1时，log(1)/(2)（1+x）<-1，
∵x∈（1，+∞）时，f（x）+log(1)/(2)（x-1）<m恒成立，
∴m≥-1；
（3）由（1）得：f（x）=log(1)/(2)（x+k），
即log(1)/(2)(x+1)/(x-1)=log(1)/(2)（x+k），
即(x+1)/(x-1)=x+k，即k=(2)/(x-1)-x+1在[2，3]上有解，
g（x）=(2)/(x-1)-x+1在[2，3]上递减，
g（x）的值域是[-1，1]，
∴k∈[-1，1]．