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如图△ABC中,CA=CB,∠ABC=90°,D为△ABC外一点,且AD⊥BD,BD交AC于E,G为BC上一点,且∠BCG=∠DCA,过G点作GH⊥CG交CB于H.(1)求证:CD=CG;(2)若AD=CG,求证:AB=AC+BH.
题目详情
如图△ABC中,CA=CB,∠ABC=90°,D为△ABC外一点,且AD⊥BD,BD交AC于E,G为BC上一点,且∠BCG=∠DCA,过G点作GH⊥CG交CB于H.
(1)求证:CD=CG;
(2)若AD=CG,求证:AB=AC+BH.
(1)求证:CD=CG;
(2)若AD=CG,求证:AB=AC+BH.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵CA=CB,∠ABC=90°,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵AD⊥BD,
∴∠DAC+45°+∠ABD=90°,
∴∠DAC+∠ABD=45°,
∵∠GBC+∠ABD=∠ABC=45°,
∴∠DAC=∠GBC,
在△ACD和△BCG中,
,
∴△ACD≌△BCG(ASA),
∴CD=CG;
(2)如图,延长CG交AB于F,
∵∠BCG=∠DCA,
∴∠DCG=∠DCA+∠ACG=∠BCG+∠ACG=∠ACB=90°,
又∵CD=CG,
∴△CDG是等腰直角三角形,
∴∠CGD=45°,
∵GH⊥CG,∠BGF=∠CGD(对顶角相等),
∴∠BGH=∠BGF,
∵△ACD≌△BCG,
∴AD=BG,
∵AD=CG,
∴BG=CG,
∴∠BCG=∠CBG,
由三角形的外角性质,∠BGF=∠BCG+∠CBG=45°,
∴∠CBG=22.5°,
∴∠GBF=∠ABC-∠CBG=45°-22.5°=22.5°,
∴∠CBG=∠GBF,
在△BGF和△BGH中,
,
∴△BGF≌△BGH(ASA),
∴BH=BF,
又∵∠AFC=∠ABD+∠BGF=22.5°+45°=67.5°,
∴∠ACF=180°-∠BAC-∠AFC=180°-45°-67.5°=67.5°,
∴∠ACF=∠AFC=67.5°,
∴AC=AF,
∵AB=AF+BF,
∴AB=AC+BH.
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵AD⊥BD,
∴∠DAC+45°+∠ABD=90°,
∴∠DAC+∠ABD=45°,
∵∠GBC+∠ABD=∠ABC=45°,
∴∠DAC=∠GBC,
在△ACD和△BCG中,
|
∴△ACD≌△BCG(ASA),
∴CD=CG;
(2)如图,延长CG交AB于F,
∵∠BCG=∠DCA,
∴∠DCG=∠DCA+∠ACG=∠BCG+∠ACG=∠ACB=90°,
又∵CD=CG,
∴△CDG是等腰直角三角形,
∴∠CGD=45°,
∵GH⊥CG,∠BGF=∠CGD(对顶角相等),
∴∠BGH=∠BGF,
∵△ACD≌△BCG,
∴AD=BG,
∵AD=CG,
∴BG=CG,
∴∠BCG=∠CBG,
由三角形的外角性质,∠BGF=∠BCG+∠CBG=45°,
∴∠CBG=22.5°,
∴∠GBF=∠ABC-∠CBG=45°-22.5°=22.5°,
∴∠CBG=∠GBF,
在△BGF和△BGH中,
|
∴△BGF≌△BGH(ASA),
∴BH=BF,
又∵∠AFC=∠ABD+∠BGF=22.5°+45°=67.5°,
∴∠ACF=180°-∠BAC-∠AFC=180°-45°-67.5°=67.5°,
∴∠ACF=∠AFC=67.5°,
∴AC=AF,
∵AB=AF+BF,
∴AB=AC+BH.
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