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已知定点A(-2,0),动点B是圆F:(x-2)2+y2=64(F为圆心)上一点,线段AB的垂直平分线交BF于P;(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)直线y=3x+1与曲线E交于M,N两点,试问在曲线E位于第二象限
题目详情
已知定点A(-2,0),动点B是圆F:(x-2)2+y2=64(F为圆心)上一点,线段AB的垂直平分线交BF于P;
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)直线y=
x+1与曲线E交于M,N两点,试问在曲线E位于第二象限部分上是否存在一点C,使
+
与
共线(O为坐标原点)?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)直线y=
3 |
OM |
ON |
OC |
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意|PA|=|PB|,且|PB|+|PF|=8,
∴|PA|+|PF|=8>|AF|.
因此点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆.(4分)
设所求椭圆的方程为
+
=1(a>b>0),
∴2a=8,a=4,a2-b2=c2=22=4∴b2=12
∴点P的轨迹方程为
+
=1.(6分)
(2)假设存在满足题意的点C(x0,y0)(x0<0,y0>0),设M(x1,y1),N(x2,y2),
+
=m
(m∈R,且m≠0),
则(x1+x2,y1+y2)=m(x0,y0).
∴x0=
,y0=
.
由
∴|PA|+|PF|=8>|AF|.
因此点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆.(4分)
设所求椭圆的方程为
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∴2a=8,a=4,a2-b2=c2=22=4∴b2=12
∴点P的轨迹方程为
x2 |
16 |
y2 |
12 |
(2)假设存在满足题意的点C(x0,y0)(x0<0,y0>0),设M(x1,y1),N(x2,y2),
OM |
ON |
OC |
则(x1+x2,y1+y2)=m(x0,y0).
∴x0=
x1+x2 |
m |
y1+y2 |
m |
由
|
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