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(2007•台州)如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A在x轴上,点C在y轴上,将边BC折叠,使点B落在边OA的点D处.已知折叠CE=55,且tan∠EDA=34.(1)判断△OCD与△ADE是

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(2007•台州)如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A在x轴上,点C在y轴上,将边BC折叠,使点B落在边OA的点D处.已知折叠CE=5
5
,且tan∠EDA=
3
4

(1)判断△OCD与△ADE是否相似?请说明理由;
(2)求直线CE与x轴交点P的坐标;
(3)是否存在过点D的直线l,使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似?如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)△OCD与△ADE相似.
理由如下:
由折叠知,∠CDE=∠B=90°,
∴∠CDO+∠EDA=90°,
∵∠CDO+∠OCD=90°,
∴∠OCD=∠EOA.
又∵∠COD=∠DAE=90°,
∴△OCD∽△ADE.

(2)∵tan∠EDA=
AE
AD
3
4

∴设AE=3t,则AD=4t,
由勾股定理得DE=5t,
∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=3t+5t=8t.
由(1)△OCD∽△ADE,得
OC
AD
CD
DE

8t
4t
CD
5t

∴CD=10t.
在△DCE中,∵CD2+DE2=CE2
∴(10t)2+(5t)2=(5
5
2
解得t=1.
∴OC=8,AE=3,点C的坐标为(0,8),
点E的坐标为(10,3),
设直线CE的解析式为y=kx+b,
10k+b=3
b=8

解得
k=−
1
2
b=8

∴y=-
1
2
x+8,则点P的坐标为(16,0).

(3)满足条件的直线l有2条:y1=-2x+12,y2=2x-12.
如图:准确画出两条直线.
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