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(2007•台州)如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A在x轴上,点C在y轴上,将边BC折叠,使点B落在边OA的点D处.已知折叠CE=55,且tan∠EDA=34.(1)判断△OCD与△ADE是
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(2007•台州)如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A在x轴上,点C在y轴上,将边BC折叠,使点B落在边OA的点D处.已知折叠CE=5
,且tan∠EDA=
.
(1)判断△OCD与△ADE是否相似?请说明理由;
(2)求直线CE与x轴交点P的坐标;
(3)是否存在过点D的直线l,使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似?如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由.
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(1)判断△OCD与△ADE是否相似?请说明理由;
(2)求直线CE与x轴交点P的坐标;
(3)是否存在过点D的直线l,使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似?如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)△OCD与△ADE相似.
理由如下:
由折叠知,∠CDE=∠B=90°,
∴∠CDO+∠EDA=90°,
∵∠CDO+∠OCD=90°,
∴∠OCD=∠EOA.
又∵∠COD=∠DAE=90°,
∴△OCD∽△ADE.
(2)∵tan∠EDA=
=
,
∴设AE=3t,则AD=4t,
由勾股定理得DE=5t,
∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=3t+5t=8t.
由(1)△OCD∽△ADE,得
=
,
∴
=
,
∴CD=10t.
在△DCE中,∵CD2+DE2=CE2,
∴(10t)2+(5t)2=(5
)2,
解得t=1.
∴OC=8,AE=3,点C的坐标为(0,8),
点E的坐标为(10,3),
设直线CE的解析式为y=kx+b,
∴
,
解得
∴y=-
x+8,则点P的坐标为(16,0).
(3)满足条件的直线l有2条:y1=-2x+12,y2=2x-12.
如图:准确画出两条直线.
理由如下:
由折叠知,∠CDE=∠B=90°,
∴∠CDO+∠EDA=90°,
∵∠CDO+∠OCD=90°,
∴∠OCD=∠EOA.
又∵∠COD=∠DAE=90°,
∴△OCD∽△ADE.
(2)∵tan∠EDA=
AE |
AD |
3 |
4 |
∴设AE=3t,则AD=4t,
由勾股定理得DE=5t,
∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=3t+5t=8t.
由(1)△OCD∽△ADE,得
OC |
AD |
CD |
DE |
∴
8t |
4t |
CD |
5t |
∴CD=10t.
在△DCE中,∵CD2+DE2=CE2,
∴(10t)2+(5t)2=(5
5 |
解得t=1.
∴OC=8,AE=3,点C的坐标为(0,8),
点E的坐标为(10,3),
设直线CE的解析式为y=kx+b,
∴
|
解得
|
∴y=-
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2 |
(3)满足条件的直线l有2条:y1=-2x+12,y2=2x-12.
如图:准确画出两条直线.
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