两县城A和B相距20km，现计划在两城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C

Question

两县城A和B相距20km，现计划在两城外以AB为直径的半圆弧

AB

上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在

AB

的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）按下列要求建立函数关系式：
①设∠CAB=θ（rad），将θ表示成y 的函数；并写出函数的定义域．
②设AC=x（km），将x表示成y的函数；并写出函数的定义域．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？

Answer 1

（1）①在直角△ABC中，AC=20cosθ，BC=20sinθ，则y=(4)/(400cos2θ)+(k)/(400sin2θ)（0＜θ＜(π)/(2)）
当x=10√(2)时，y=0.065，所以k=9
所以y表示成x的函数为y=(4)/(400cos2θ)+(9)/(400sin2θ)（0＜θ＜(π)/(2)）；
②由题意知AC⊥BC，BC²=400-x²，y=(4)/(x2)+(9)/(400−x2)（0＜x＜20）
（2）选②，则y′=(18x4−8(400−x2)2)/(x3(400−x2)2)，
令y'=0得18x⁴=8（400-x²）²，
所以x²=160，即x=4√(10)，
当0＜x＜4√(10)时，18x⁴＜8（400-x²）²，即y'＜0，以函数为单调减函数，
当4√(10)＜x＜20时，18x⁴＞8（400-x²）²，即y'＞0，所以函数为单调增函数．
所以当x=4