椭圆16分之x平方+4分之y平方=1上的点到直线x+2y-根号下2=0的最大距离是多少?

Question

椭圆16分之x平方+4分之y平方=1上的点到直线x+2y-根号下2=0的最大距离是多少?

Answer 1

由题意知直线x+2y-√2=0与椭圆相离,设直线x+2y-√2=0的平行线l为x+2y-k=0,依题意知当直线l与椭圆相切时切点到直线x+2y-√2=0的距离最大或最小,
∵x+2y-k=0得y=(-x+k)/2……①,把①代人椭圆方程中整理得：
2x²-2kx+k²-16=0
△=(2k)²-4×2×(k²-16)=0
∴k=4√2或k=-4√2,
由两平行线的距离公式知:
k=4√2时直线l与x+2y-√2的距离为d1=|4√2+√2|/√(1²+2²)=√10
k=-4√2时,直线l与x+2y-√2=0的距离为d2=|-4√2+√2|/√5=(3√10)/5
椭圆上的点到直线x+2y-√2=0的最大距离为√10,最小距离为（3√10）/5.