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(2010•密云县)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,DC=5,AB=42,∠B=45°.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度
题目详情
(2010•密云县)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,DC=5,AB=4
,∠B=45°.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒.
(1)求BC的长;
(2)当MN∥AB时,求t的值;
(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.
,∠B=45°.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒.
(1)求BC的长;
(2)当MN∥AB时,求t的值;
(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.
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(1)求BC的长;
(2)当MN∥AB时,求t的值;
(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.
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(1)求BC的长;
(2)当MN∥AB时,求t的值;
(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.
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▼优质解答
答案和解析
(1)如图①,过A、D分别作AK⊥BC于K,DH⊥BC于H,则四边形ADHK是矩形.
∴KH=AD=3.
在Rt△ABK中,AK=AB•sin45°=4
•
=4BK=AB•cos45°=4
•
=4.
在Rt△CDH中,由勾股定理得,HC=
=3.
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10.
(2)如图②,过D作DG∥AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形.
∵MN∥AB,
∴MN∥DG.
∴BG=AD=3.
∴GC=10-3=7.
由题意知,当M、N运动到t秒时,CN=t,CM=10-2t.
∵DG∥MN,
∴∠NMC=∠DGC.
又∵∠C=∠C,
∴△MNC∽△GDC.
∴
=
,
即
=
.
解得,t=
.
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
.
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
MC=
(10-2t)=5-t.
在Rt△CEN中,cosC=
=
,
又在Rt△DHC中,cosC=
=
,
∴
=
.
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
2 2 2•
=4BK=AB•cos45°=4
•
=4.
在Rt△CDH中,由勾股定理得,HC=
=3.
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10.
(2)如图②,过D作DG∥AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形.
∵MN∥AB,
∴MN∥DG.
∴BG=AD=3.
∴GC=10-3=7.
由题意知,当M、N运动到t秒时,CN=t,CM=10-2t.
∵DG∥MN,
∴∠NMC=∠DGC.
又∵∠C=∠C,
∴△MNC∽△GDC.
∴
=
,
即
=
.
解得,t=
.
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
.
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
MC=
(10-2t)=5-t.
在Rt△CEN中,cosC=
=
,
又在Rt△DHC中,cosC=
=
,
∴
=
.
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
2 2 22 2 2=4BK=AB•cos45°=4
•
=4.
在Rt△CDH中,由勾股定理得,HC=
=3.
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10.
(2)如图②,过D作DG∥AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形.
∵MN∥AB,
∴MN∥DG.
∴BG=AD=3.
∴GC=10-3=7.
由题意知,当M、N运动到t秒时,CN=t,CM=10-2t.
∵DG∥MN,
∴∠NMC=∠DGC.
又∵∠C=∠C,
∴△MNC∽△GDC.
∴
=
,
即
=
.
解得,t=
.
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
.
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
MC=
(10-2t)=5-t.
在Rt△CEN中,cosC=
=
,
又在Rt△DHC中,cosC=
=
,
∴
=
.
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
2 2 2•
2 2 22 2 2=4.
在Rt△CDH中,由勾股定理得,HC=
=3.
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10.
(2)如图②,过D作DG∥AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形.
∵MN∥AB,
∴MN∥DG.
∴BG=AD=3.
∴GC=10-3=7.
由题意知,当M、N运动到t秒时,CN=t,CM=10-2t.
∵DG∥MN,
∴∠NMC=∠DGC.
又∵∠C=∠C,
∴△MNC∽△GDC.
∴
=
,
即
=
.
解得,t=
.
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
.
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
MC=
(10-2t)=5-t.
在Rt△CEN中,cosC=
=
,
又在Rt△DHC中,cosC=
=
,
∴
=
.
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
52−42 52−42 52−422−422=3.
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10.
(2)如图②,过D作DG∥AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形.
∵MN∥AB,
∴MN∥DG.
∴BG=AD=3.
∴GC=10-3=7.
由题意知,当M、N运动到t秒时,CN=t,CM=10-2t.
∵DG∥MN,
∴∠NMC=∠DGC.
又∵∠C=∠C,
∴△MNC∽△GDC.
∴
=
,
即
=
.
解得,t=
.
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
.
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
MC=
(10-2t)=5-t.
在Rt△CEN中,cosC=
=
,
又在Rt△DHC中,cosC=
=
,
∴
=
.
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
CN CN CNCD CD CD=
CM CM CMCG CG CG,
即
=
.
解得,t=
.
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
.
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
MC=
(10-2t)=5-t.
在Rt△CEN中,cosC=
=
,
又在Rt△DHC中,cosC=
=
,
∴
=
.
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
t t t5 5 5=
10−2t 10−2t 10−2t7 7 7.
解得,t=
.
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
.
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
MC=
(10-2t)=5-t.
在Rt△CEN中,cosC=
=
,
又在Rt△DHC中,cosC=
=
,
∴
=
.
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形. t=
50 50 5017 17 17.
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
.
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
MC=
(10-2t)=5-t.
在Rt△CEN中,cosC=
=
,
又在Rt△DHC中,cosC=
=
,
∴
=
.
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形. t=
10 10 103 3 3.
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
MC=
(10-2t)=5-t.
在Rt△CEN中,cosC=
=
,
又在Rt△DHC中,cosC=
=
,
∴
=
.
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
1 1 12 2 2MC=
(10-2t)=5-t.
在Rt△CEN中,cosC=
=
,
又在Rt△DHC中,cosC=
=
,
∴
=
.
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
1 1 12 2 2(10-2t)=5-t.
在Rt△CEN中,cosC=
=
,
又在Rt△DHC中,cosC=
=
,
∴
=
.
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
EC EC ECNC NC NC=
,
又在Rt△DHC中,cosC=
=
,
∴
=
.
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
5−t 5−t 5−tt t t,
又在Rt△DHC中,cosC=
=
,
∴
=
.
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
CH CH CHCD CD CD=
3 3 35 5 5,
∴
=
.
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
5−t 5−t 5−tt t t=
3 3 35 5 5.
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
25 25 258 8 8.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
NC NC NCDC DC DC=
EC EC ECHC HC HC,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
t t t5 5 5=
5−t 5−t 5−t3 3 3.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
25 25 258 8 8.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
1 1 12 2 2NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
1 1 12 2 2t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形. cosC=
FC FC FCMC MC MC=
t
t
1 1 12 2 2t10−2t 10−2t 10−2t=
3 3 35 5 5,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形. t=
60 60 6017 17 17.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
FC FC FCHC HC HC=
MC MC MCDC DC DC,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
t
t
1 1 12 2 2t3 3 3=
10−2t 10−2t 10−2t5 5 5,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形. t=
60 60 6017 17 17.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
10 10 103 3 3、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
25 25 258 8 8或t=
时,△MNC为等腰三角形.
60 60 6017 17 17时,△MNC为等腰三角形.
∴KH=AD=3.
在Rt△ABK中,AK=AB•sin45°=4
2 |
| ||
2 |
2 |
| ||
2 |
在Rt△CDH中,由勾股定理得,HC=
52−42 |
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10.
(2)如图②,过D作DG∥AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形.
∵MN∥AB,
∴MN∥DG.
∴BG=AD=3.
∴GC=10-3=7.
由题意知,当M、N运动到t秒时,CN=t,CM=10-2t.
∵DG∥MN,
∴∠NMC=∠DGC.
又∵∠C=∠C,
∴△MNC∽△GDC.
∴
CN |
CD |
CM |
CG |
即
t |
5 |
10−2t |
7 |
解得,t=
50 |
17 |
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
10 |
3 |
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
1 |
2 |
1 |
2 |
在Rt△CEN中,cosC=
EC |
NC |
5−t |
t |
又在Rt△DHC中,cosC=
CH |
CD |
3 |
5 |
∴
5−t |
t |
3 |
5 |
解得t=
25 |
8 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
3 |
5 |
解得t=
60 |
17 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
17 |
综上所述,当t=
10 |
3 |
25 |
8 |
60 |
17 |
2 |
| ||
2 |
2 |
| ||
2 |
在Rt△CDH中,由勾股定理得,HC=
52−42 |
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10.
(2)如图②,过D作DG∥AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形.
∵MN∥AB,
∴MN∥DG.
∴BG=AD=3.
∴GC=10-3=7.
由题意知,当M、N运动到t秒时,CN=t,CM=10-2t.
∵DG∥MN,
∴∠NMC=∠DGC.
又∵∠C=∠C,
∴△MNC∽△GDC.
∴
CN |
CD |
CM |
CG |
即
t |
5 |
10−2t |
7 |
解得,t=
50 |
17 |
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
10 |
3 |
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
1 |
2 |
1 |
2 |
在Rt△CEN中,cosC=
EC |
NC |
5−t |
t |
又在Rt△DHC中,cosC=
CH |
CD |
3 |
5 |
∴
5−t |
t |
3 |
5 |
解得t=
25 |
8 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
3 |
5 |
解得t=
60 |
17 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
17 |
综上所述,当t=
10 |
3 |
25 |
8 |
60 |
17 |
| ||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
| ||
2 |
在Rt△CDH中,由勾股定理得,HC=
52−42 |
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10.
(2)如图②,过D作DG∥AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形.
∵MN∥AB,
∴MN∥DG.
∴BG=AD=3.
∴GC=10-3=7.
由题意知,当M、N运动到t秒时,CN=t,CM=10-2t.
∵DG∥MN,
∴∠NMC=∠DGC.
又∵∠C=∠C,
∴△MNC∽△GDC.
∴
CN |
CD |
CM |
CG |
即
t |
5 |
10−2t |
7 |
解得,t=
50 |
17 |
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
10 |
3 |
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
1 |
2 |
1 |
2 |
在Rt△CEN中,cosC=
EC |
NC |
5−t |
t |
又在Rt△DHC中,cosC=
CH |
CD |
3 |
5 |
∴
5−t |
t |
3 |
5 |
解得t=
25 |
8 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
3 |
5 |
解得t=
60 |
17 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
17 |
综上所述,当t=
10 |
3 |
25 |
8 |
60 |
17 |
2 |
| ||
2 |
2 |
2 |
2 |
在Rt△CDH中,由勾股定理得,HC=
52−42 |
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10.
(2)如图②,过D作DG∥AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形.
∵MN∥AB,
∴MN∥DG.
∴BG=AD=3.
∴GC=10-3=7.
由题意知,当M、N运动到t秒时,CN=t,CM=10-2t.
∵DG∥MN,
∴∠NMC=∠DGC.
又∵∠C=∠C,
∴△MNC∽△GDC.
∴
CN |
CD |
CM |
CG |
即
t |
5 |
10−2t |
7 |
解得,t=
50 |
17 |
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
10 |
3 |
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
1 |
2 |
1 |
2 |
在Rt△CEN中,cosC=
EC |
NC |
5−t |
t |
又在Rt△DHC中,cosC=
CH |
CD |
3 |
5 |
∴
5−t |
t |
3 |
5 |
解得t=
25 |
8 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
3 |
5 |
解得t=
60 |
17 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
17 |
综上所述,当t=
10 |
3 |
25 |
8 |
60 |
17 |
52−42 |
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10.
(2)如图②,过D作DG∥AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形.
∵MN∥AB,
∴MN∥DG.
∴BG=AD=3.
∴GC=10-3=7.
由题意知,当M、N运动到t秒时,CN=t,CM=10-2t.
∵DG∥MN,
∴∠NMC=∠DGC.
又∵∠C=∠C,
∴△MNC∽△GDC.
∴
CN |
CD |
CM |
CG |
即
t |
5 |
10−2t |
7 |
解得,t=
50 |
17 |
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
10 |
3 |
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
1 |
2 |
1 |
2 |
在Rt△CEN中,cosC=
EC |
NC |
5−t |
t |
又在Rt△DHC中,cosC=
CH |
CD |
3 |
5 |
∴
5−t |
t |
3 |
5 |
解得t=
25 |
8 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
3 |
5 |
解得t=
60 |
17 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
17 |
综上所述,当t=
10 |
3 |
25 |
8 |
60 |
17 |
CN |
CD |
CM |
CG |
即
t |
5 |
10−2t |
7 |
解得,t=
50 |
17 |
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
10 |
3 |
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
1 |
2 |
1 |
2 |
在Rt△CEN中,cosC=
EC |
NC |
5−t |
t |
又在Rt△DHC中,cosC=
CH |
CD |
3 |
5 |
∴
5−t |
t |
3 |
5 |
解得t=
25 |
8 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
3 |
5 |
解得t=
60 |
17 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
17 |
综上所述,当t=
10 |
3 |
25 |
8 |
60 |
17 |
t |
5 |
10−2t |
7 |
解得,t=
50 |
17 |
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
10 |
3 |
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
1 |
2 |
1 |
2 |
在Rt△CEN中,cosC=
EC |
NC |
5−t |
t |
又在Rt△DHC中,cosC=
CH |
CD |
3 |
5 |
∴
5−t |
t |
3 |
5 |
解得t=
25 |
8 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
3 |
5 |
解得t=
60 |
17 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
17 |
综上所述,当t=
10 |
3 |
25 |
8 |
60 |
17 |
50 |
17 |
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
10 |
3 |
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
1 |
2 |
1 |
2 |
在Rt△CEN中,cosC=
EC |
NC |
5−t |
t |
又在Rt△DHC中,cosC=
CH |
CD |
3 |
5 |
∴
5−t |
t |
3 |
5 |
解得t=
25 |
8 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
3 |
5 |
解得t=
60 |
17 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
17 |
综上所述,当t=
10 |
3 |
25 |
8 |
60 |
17 |
10 |
3 |
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
1 |
2 |
1 |
2 |
在Rt△CEN中,cosC=
EC |
NC |
5−t |
t |
又在Rt△DHC中,cosC=
CH |
CD |
3 |
5 |
∴
5−t |
t |
3 |
5 |
解得t=
25 |
8 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
3 |
5 |
解得t=
60 |
17 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
17 |
综上所述,当t=
10 |
3 |
25 |
8 |
60 |
17 |
1 |
2 |
1 |
2 |
在Rt△CEN中,cosC=
EC |
NC |
5−t |
t |
又在Rt△DHC中,cosC=
CH |
CD |
3 |
5 |
∴
5−t |
t |
3 |
5 |
解得t=
25 |
8 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
3 |
5 |
解得t=
60 |
17 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
17 |
综上所述,当t=
10 |
3 |
25 |
8 |
60 |
17 |
1 |
2 |
在Rt△CEN中,cosC=
EC |
NC |
5−t |
t |
又在Rt△DHC中,cosC=
CH |
CD |
3 |
5 |
∴
5−t |
t |
3 |
5 |
解得t=
25 |
8 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
3 |
5 |
解得t=
60 |
17 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
17 |
综上所述,当t=
10 |
3 |
25 |
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60 |
17 |
EC |
NC |
5−t |
t |
又在Rt△DHC中,cosC=
CH |
CD |
3 |
5 |
∴
5−t |
t |
3 |
5 |
解得t=
25 |
8 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
3 |
5 |
解得t=
60 |
17 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
17 |
综上所述,当t=
10 |
3 |
25 |
8 |
60 |
17 |
5−t |
t |
又在Rt△DHC中,cosC=
CH |
CD |
3 |
5 |
∴
5−t |
t |
3 |
5 |
解得t=
25 |
8 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
3 |
5 |
解得t=
60 |
17 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
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综上所述,当t=
10 |
3 |
25 |
8 |
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CH |
CD |
3 |
5 |
∴
5−t |
t |
3 |
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解得t=
25 |
8 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
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1 |
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解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
3 |
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解得t=
60 |
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解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
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综上所述,当t=
10 |
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5−t |
t |
3 |
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解得t=
25 |
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解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
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1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
3 |
5 |
解得t=
60 |
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解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
17 |
综上所述,当t=
10 |
3 |
25 |
8 |
60 |
17 |
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解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
3 |
5 |
解得t=
60 |
17 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
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综上所述,当t=
10 |
3 |
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NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5−t |
3 |
∴t=
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8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10−2t |
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解得t=
60 |
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解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10−2t |
5 |
∴t=
60 |
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综上所述,当t=
10 |
3 |
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t |
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∴t=
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③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
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3 |
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解得t=
60 |
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解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
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5 |
∴t=
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综上所述,当t=
10 |
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③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
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1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
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3 |
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解得t=
60 |
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解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
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5 |
∴t=
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综上所述,当t=
10 |
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解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
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| ||
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3 |
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解得t=
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解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
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解法一:(方法同②中解法一)cosC=
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MC |
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3 |
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解得t=
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解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
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∴t=
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1 |
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解得t=
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解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
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解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
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