用min{m，n}表示m，n中的最小值．已知函数f（x）=x3+ax+14，g（x）=-lnx，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），若h（x）有3个零点，则实数a的取值范围是．

Question

用min{m，n}表示m，n中的最小值．已知函数f（x）=x³+ax+ (1)/(4)，g（x）=-lnx，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x>0），若h（x）有3个零点，则实数a的取值范围是___．

Answer 1

∵f（x）=x³+ax+(1)/(4)，
∴f′（x）=3x²+a，
若a≥0，则f′（x）≥0恒成立，函数f（x）=x³+ax+(1)/(4)至多有一个零点，
此时h（x）不可能有3个零点，故a<0，
令f′（x）=0，则x=±√(-(a)/(3))，
∵g（1）=0，
∴若h（x）有3个零点，则√(-(a)/(3))<1，f（1）>0，f（√(-(a)/(3))）<0，
即

-3<a<0

(5)/(4)+a>0

(2a)/(3)√(-(a)/(3))+(1)/(4)<0

，
解得：a∈（-(5)/(4)，-(3)/(4)），
故答案为：（-(5)/(4)，-(3)/(4)）