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已知函数f(x)=log2x.(1)若f(x)的反函数是f-1(x),解方程:f-1(2x+1)=3f-1(x)-1;(2)当x∈(3m,3m+3](m∈N)时,定义g(x)=f(x-3m).设an=n•g(n),数列{an}的前n项和为Sn,求a1、
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已知函数f(x)=log2x.
(1)若f(x)的反函数是f-1(x),解方程:f-1(2x+1)=3f-1(x)-1;
(2)当x∈(3m,3m+3](m∈N)时,定义g(x)=f(x-3m).设an=n•g(n),数列{an}的前n项和为Sn,求a1、a2、a3、a4和S3n;
(3)对于任意a、b、c∈[M,+∞),且a≥b≥c.当a、b、c能作为一个三角形的三边长时,f(a)、f(b)、f(c)也总能作为某个三角形的三边长,试探究M的最小值.
(1)若f(x)的反函数是f-1(x),解方程:f-1(2x+1)=3f-1(x)-1;
(2)当x∈(3m,3m+3](m∈N)时,定义g(x)=f(x-3m).设an=n•g(n),数列{an}的前n项和为Sn,求a1、a2、a3、a4和S3n;
(3)对于任意a、b、c∈[M,+∞),且a≥b≥c.当a、b、c能作为一个三角形的三边长时,f(a)、f(b)、f(c)也总能作为某个三角形的三边长,试探究M的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵函数y=g(x)是函数y=f(x)的反函数,f(x)=log2x
g(x)=2x,则2•22x-3•2x+1=0(2分)(2x-1)•(2•2x-1)=0,∴2x=1,
故:原方程的解为x=0,-1(2分)
(2)若1∈(3m,3m+3],∴m=0,∴φ(1)=f(1)=0,∴a1=1×0=0
若2∈(3m,3m+3],∴m=0,∴φ(2)=f(2)=1,∴a2=2×1=2
若3∈(3m,3m+3],∴m=0,∴φ(3)=f(3)=log23,∴a3=3log23
若4∈(3m,3m+3],∴m=1,∴φ(4)=f(1)=0,∴a4=4×0=0(2分)
当n=3m+1(m∈N)时,φ(n)=f(n-3m)=f(1)=0,∴an=n×0=0
当n=3m+2(m∈N)时,φ(n)=f(n-3m)=f(2)=1,∴an=n×1=n
当n=3m+3(m∈N)时,φ(n)=f(n-3m)=f(3)=log23,∴an=nlog23(2分)S3n=a1+a2+a3+a4+…+a3n
=1×0+2×1+3×log23+4×0+5×1+…+3nlog23
=(2+5+8+…+3n-1)×1+(3+6+9+…+3n)log23
=
×n+
×n×log23
=
[3n+1+(3n+3)log23](2分)
(3)由题意知,c+b>a
∵f(a),f(b),f(c)能作为某个三角形的三边长,
∴log2c+log2b>log2a,
∴bc>a(2分)
∵bc≥b+c,
∴(b-1)(c-1)≥1
当b≥2,c≥2时,有(b-1)(c-1)≥1成立,则一定有bc>a成立.(2分)
∵log2c>0,
∴c>1,即0<M≤1不合题意.(2分)
又当1<M<2时,取b=M,c=M,a=M2,有M+M>M2,即b+c>a,
此时a,b,c可作为一个三角形的三边长,但log2M+log2M=2log2M=log2M2,
即f(b)+f(c)=f(a),所以f(a)、f(b)、f(c)不能作为三角形的三边长.
综上所述,M的最小值为2.(2分)
解法2:a≥b≥c,由题意知,b+c>a
∵f(a),f(b),f(c)能作为某个三角形的三边长
∴log2b+log2c>log2a,
∴bc>a
设a=c+p1,b=c+p2p1≥p2≥0
∵p1=0⇒p2=0,
∴a=b=c>1,f(a),f(b),f(c)显然能作为某个三角形三边长
若p1≠0,由(1)知c>p1-p2.
由(2)知bc>a,
∴c>
=
=1+
而c+p2>p1,则0≤
≤
⇒1≤
<1+
=2−
≤2
故:c≥2.
g(x)=2x,则2•22x-3•2x+1=0(2分)(2x-1)•(2•2x-1)=0,∴2x=1,
1 |
2 |
故:原方程的解为x=0,-1(2分)
(2)若1∈(3m,3m+3],∴m=0,∴φ(1)=f(1)=0,∴a1=1×0=0
若2∈(3m,3m+3],∴m=0,∴φ(2)=f(2)=1,∴a2=2×1=2
若3∈(3m,3m+3],∴m=0,∴φ(3)=f(3)=log23,∴a3=3log23
若4∈(3m,3m+3],∴m=1,∴φ(4)=f(1)=0,∴a4=4×0=0(2分)
当n=3m+1(m∈N)时,φ(n)=f(n-3m)=f(1)=0,∴an=n×0=0
当n=3m+2(m∈N)时,φ(n)=f(n-3m)=f(2)=1,∴an=n×1=n
当n=3m+3(m∈N)时,φ(n)=f(n-3m)=f(3)=log23,∴an=nlog23(2分)S3n=a1+a2+a3+a4+…+a3n
=1×0+2×1+3×log23+4×0+5×1+…+3nlog23
=(2+5+8+…+3n-1)×1+(3+6+9+…+3n)log23
=
2+3n−1 |
2 |
3+3n |
2 |
=
n |
2 |
(3)由题意知,c+b>a
∵f(a),f(b),f(c)能作为某个三角形的三边长,
∴log2c+log2b>log2a,
∴bc>a(2分)
∵bc≥b+c,
∴(b-1)(c-1)≥1
当b≥2,c≥2时,有(b-1)(c-1)≥1成立,则一定有bc>a成立.(2分)
∵log2c>0,
∴c>1,即0<M≤1不合题意.(2分)
又当1<M<2时,取b=M,c=M,a=M2,有M+M>M2,即b+c>a,
此时a,b,c可作为一个三角形的三边长,但log2M+log2M=2log2M=log2M2,
即f(b)+f(c)=f(a),所以f(a)、f(b)、f(c)不能作为三角形的三边长.
综上所述,M的最小值为2.(2分)
解法2:a≥b≥c,由题意知,b+c>a
∵f(a),f(b),f(c)能作为某个三角形的三边长
∴log2b+log2c>log2a,
∴bc>a
设a=c+p1,b=c+p2p1≥p2≥0
∵p1=0⇒p2=0,
∴a=b=c>1,f(a),f(b),f(c)显然能作为某个三角形三边长
若p1≠0,由(1)知c>p1-p2.
由(2)知bc>a,
∴c>
a |
b |
c+p1 |
c+p2 |
p1−p2 |
c+p2 |
而c+p2>p1,则0≤
p1−p2 |
c+p2 |
p1−p2 |
p1 |
p1−p2 |
c+p2 |
p1−p2 |
p1 |
p2 |
p1 |
故:c≥2.
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