对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，给出如下的定义：若⊙O上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙O的关联点．已知点D（12，12），E（0，-2），F（23，0）．（1）当⊙O的半径为1时，①

Question

对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙O，给出如下的定义：若⊙O上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙O的关联点．已知点D（(1)/(2)，(1)/(2)），E（0，-2），F（2√(3)，0）．
（1）当⊙O的半径为1时，①在点D、E、F这三个点中，⊙O的关联点是______．②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是⊙O的关联点，求⊙O的半径r的取值范围．

Answer 1

（1）由题可知：若点P刚好是⊙O的关联点，则点P到⊙O的两条切线PA与PB之间的夹角为60°，如图1，

∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=(1)/(2)∠APB=30°．
∴OP=2OA．
设⊙O的半径为r，则点P刚好是⊙O的关联点时OP=2r．
所以若点P是⊙O的关联点，则需点P到圆心O的距离d满足0≤d≤2r．
①过点D作DC⊥x轴，垂足为C，连接OD，如图2，

∵点D（(1)/(2)，(1)/(2)），
∴OC=DC=(1)/(2)．
∴OD=(√(2))/(2)．
∵0＜OD＜2，OE=2，OF＞2，
∴点D、点E是⊙O的关联点，点F不是⊙O的关联点．
故答案为D、E．
②过点O作OH⊥GF，垂足为H，如图3，

则有OH=(1)/(2)OF=√(3)．
当点P刚好是⊙O的关联点时，OP=2．
∵OH＜OP，
∴点P刚好是⊙O的关联点的位置有两个，记为P₁、P₂．
在Rt△GOF中，tan∠GFO=(OG)/(OF)=(OG)/(2√(3))=(√(3))/(3)，
解得：OG=2．
所以点P₁与点G重合，此时m=0．
过点P₂作P₂M⊥x轴，垂足为M，
∵∠OGF=90°-30°=60°，OP₁=OP₂，
∴∠OP₂P₁=∠OP₁P₂=∠OGP₂=60°．
∴∠P₂OF=30°．
∴cos∠P₂OM=(OM)/(OP2)=(OM)/(2)=<