如图，由同一点O出发的两公交车分别沿道路L1、L2行驶且两公路分别经过A、B两个小区门口．（1）现准备在∠AOB内建一个加油站，要求加油站的位置点P到两个小区门口A、B的距离相等，且P到

Question

如图，由同一点O出发的两公交车分别沿道路L₁、L₂行驶且两公路分别经过A、B两个小区门口．

（1）现准备在∠AOB内建一个加油站，要求加油站的位置点P到两个小区门口A、B的距离相等，且P到L₁、L₂的距离也相等，请用尺规作出点P（不需要写做法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，过点P作PM⊥OA于M，作PN⊥OB于点N（不需要用圆规，用三角尺作出即可）则线段AM与BN有什么数量关系？请说明理由．

Answer 1

（1）连接A、B两点，作出线段AB的垂直平分线，
再作出∠AOB的平分线，两线的交点即为点P．

（2）AM=BN，
理由：连接PA、PB．
∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，
∴PM=PN，
∵P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB，
在Rt△PMA和Rt△PNB中，
∵

PM=PN

PA=PB

，
∴Rt△PMA≌Rt△PNB（HL），
∴AM=BN．