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1、假定从坐标原点到曲线y=f(x)的切线的距离等于该切点的横坐标,问该函数f(x)满足怎样的关系式?原点到切线距离怎么算?难道连列求交点再算距离吗?2、设y=f(x)是微分方程y''+2y'+3y=e^3x满足初始
题目详情
1、假定从坐标原点到曲线y=f(x)的切线的距离等于该切点的横坐标,问该函数f(x)满足怎样的关系式?
原点到切线距离怎么算?难道连列求交点再算距离吗?
2、设y=f(x)是微分方程y''+2y'+3y=e^3x满足初始条件(即柯西条件)y(0)=y'(0)=0的特解,求极限lim(ln(1+x^2)/f(x))(x趋向0)
原点到切线距离怎么算?难道连列求交点再算距离吗?
2、设y=f(x)是微分方程y''+2y'+3y=e^3x满足初始条件(即柯西条件)y(0)=y'(0)=0的特解,求极限lim(ln(1+x^2)/f(x))(x趋向0)
▼优质解答
答案和解析
我来解第二题:
由条件知:f''(0)+2f'(0)+3f(0)=e^(3×0)
得 f"(0)=1
故由洛必达法则
lim(x->0)(ln(1+x^2)/f(x))
=lim(x->0)((2x/(1+x^2))/f'(x))
=lim(x->0)(2x/f'(x))
=lim(x->0)(2/f"(x))
=2/f"(0)=2/1=2
由条件知:f''(0)+2f'(0)+3f(0)=e^(3×0)
得 f"(0)=1
故由洛必达法则
lim(x->0)(ln(1+x^2)/f(x))
=lim(x->0)((2x/(1+x^2))/f'(x))
=lim(x->0)(2x/f'(x))
=lim(x->0)(2/f"(x))
=2/f"(0)=2/1=2
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