设函数f（x）=|x3-1|φ（x），其中φ（x）在x=1处连续，则φ（1）=0是f（x）在x=1处可导的（）A．充分必要条件B．必要但非充分条件C．充分但非必要条件D．既非充分也非必要条件

Question

设函数f（x）=|x³-1|φ（x），其中φ（x）在x=1处连续，则φ（1）=0是f（x）在x=1处可导的（　　）

A．充分必要条件
B．必要但非充分条件
C．充分但非必要条件
D．既非充分也非必要条件

Answer 1

因为

lim

x→1+

(f(x)−f(1))/(x−1)＝

lim

x→1+

(x3−1)/(x−1)•ϕ(x)＝3ϕ(1)，

lim

x→1−

(f(x)−f(1))/(x−1)＝−

lim

x→1−

(x3−1)/(x−1)•ϕ(x)＝−3ϕ(1)，
可见，f（x）在x=1处可导的充分必要条件是
 3ϕ（1）=-3ϕ（1）⇔ϕ（1）=0．
故选：A．