（2012•镇江模拟）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点P从A出发以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q也从点A出发以每秒1cm的速度向终点E运动．设运动的时间为t秒．解答下列问题

Question

（2012•镇江模拟）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点P从A出发以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q也从点A出发以每秒1cm的速度向终点E运动．设运动的时间为t秒．解答下列问题：
（1）当0＜t≤3时，以A、P、Q为顶点的三角形能与△ADE相似吗？（不必说理由）
（2）连接DQ，试求当t为何值时？△ADQ为等腰三角形．
（3）求t为何值时？直线PQ平分矩形ABCD的面积．

Answer 1

（1）不能相似；

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=6cm，∠ADC=90°，

分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，此时t=3；  
②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC-CE=6cm-2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，
由三角形的面积公式得：S_△ADE=(1)/(2)×AD×DE=(1)/(2)AE×DM，
∴DM=(12)/(5)cm，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM=√(32−((12)/(5))2)=(9)/(5)（cm），
∵DM⊥AQ，AD=DQ，
∴AQ=2AM=(18)/(5)cm（三线合一定理），
即t=(18)/(5)；   
③当QA=QD时，
过Q作QN⊥AD于N，
则AN=ND=(3)/(2)，
∵∠ADC=∠ANQ=90°
∴QN∥DC，
∵DN=AN，
∴EQ=AQ=(1)/(2)AE=(1)/(2)×5cm=(5)/(2)cm，
即t=(5)/(2)
综合上述，当t为3秒或(18)/(5)秒或(5)/(2)秒时，△ADQ是等腰三角形．


（3）连接AC，取AC中点O（即AO=OC），当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠OCR=∠OAP，
∵在△ROC和△POA中，

∠RCO＝∠PAO

OC＝OA

∠ROC＝∠POA

，
∴△ROC≌△POA（ASA），
∴CR=A