平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分成f(n)=个部分.

Question

平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分成f(n)= 个部分.

Answer 1

证明：①当n=1时，一条直线将平面分成两个部分，而f(1)= =2.

∴命题成立.

②假设当n=k时，命题成立，即k条直线把平面分成f(k)= 个部分.

则当n=k+1时，即增加一条直线l，因为任何两条直线不平行，所以l与k条直线都相交有k个交点；又因为任何三条不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同.如此这k个交点把直线l分成k+1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加的平面为k+1个部分.

∴f(k+1)=f(k)+k+1

= .

∴n=k+1时命题成立.

由①②知当n∈N ^* 时，命题成立.